Racionální číslo

Technology

12 hours ago

Author

Racionální čísla jsou čísla, která lze vyjádřit jako zlomek dvou celých čísel. Jsou to čísla, která patří do množiny Q, jejímž prvkem je zlomek ve tvaru a/b, kde a a b jsou celá čísla a b není rovno nule. Racionální čísla jsou tedy všechna čísla, která lze zapsat jako kladné, záporné nebo nulové zlomky. Patří sem například čísla 1/2, 3/4, -5/8 atd. Racionální čísla tvoří spočetnou množinu, což znamená, že je lze uspořádat do posloupnosti a přiřadit jim pořadové číslo. Tato vlastnost plní důležitou roli v matematice a usnadňuje práci s racionálními čísly. Racionální čísla mají některé specifické vlastnosti, například se dají sčítat, odečítat, násobit a dělit, a vytváří tak matematickou strukturu nazývanou těleso. Racionální čísla jsou důležitá nejen v matematice, ale také v mnoha dalších vědních disciplínách, jako je fyzika, ekonomie nebo informatika.

Racionální číslo je číslo, které lze vyjádřit jako zlomek, tedy podíl dvou celých čísel, většinou zapsaný ve tvaru \frac{a}{b} nebo a/b, kde b není nula. Název pochází z latinského ratio - poměr. Množina všech racionálních čísel se značí Q nebo \mathbb{Q}, z latinského quotient - podíl. Reálné číslo, které není racionální, se nazývá iracionální číslo, jsou to například \sqrt{2} nebo \pi. Desetinný rozvoj racionálního čísla je periodický. V případě konečného rozvoje - desetinného čísla - tvoří periodu nuly.

U zlomku \frac{a}{b} se číslo a označuje jako čitatel, číslo b jako jmenovatel (neboť určuje jméno zlomku: 1/2 je jedna polovina, 1/3 je jedna třetina, 1/4 je jedna čtvrtina atd. ). +more Každé racionální číslo lze vyjádřit nekonečně mnoha zlomky, např. 1/2=2/4=3/6=. . Nejjednodušší je tvar, ve kterém a a b jsou nesoudělná čísla a b je kladné. Každé racionální číslo tento základní tvar má a je dán jednoznačně.

Vlastnosti

Množina racionálních čísel \mathbb{Q} společně s operacemi sčítání a násobení tvoří komutativní těleso. Je to podílové těleso oboru celých čísel, tedy nejmenší těleso, které obsahuje všechna celá čísla.

Množina \mathbb{Q} je spočetná; jelikož množina všech reálných čísel je nespočetná, jsou skoro všechna reálná čísla iracionální (ve smyslu Lebesgueovy míry). Racionální čísla však tvoří hustou podmnožinu množiny reálných čísel \mathbb{R} - ke každému reálnému číslu lze libovolně blízko najít racionální číslo neboli každé reálné číslo lze s libovolnou přesností nahradit racionálním číslem.

Počítání se zlomky

Zlomky lze sčítat a násobit: :\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd} :\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} Dva zlomky a \over b a c \over d vyjadřují stejné racionální číslo tehdy a jen tehdy, když a d = b c. Ke každému racionálnímu číslu existuje číslo opačné a ke každému nenulovému i převrácené: :- \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b} pokud b \neq 0 :\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} pokud a \neq 0 a zároveň b \neq 0