Cesko.wiki Násobení
Author
Albert FloresNásobení je vedle sčítání, odčítání a dělení jedna ze čtyř základních početních operací v aritmetice. Symbol násobení je ·, × nebo *, vstupní hodnoty se nazývají činitelé, výsledek násobení součin. Opakovaným násobením získáváme umocňování.
Například 3 · 4 se čte „tři krát čtyři“ a je násobení činitelů 3 a 4, jejich součin je 12: :3 · 4 = 12 Násobení je stejně jako sčítání komutativní, nezáleží na pořadí činitelů: :3 · 4 = 4 · 3 = 12
Násobení dvou přirozených čísel
Násobení přirozených čísel představuje jejich opakované sčítání.
: \begin{matrix} \underbrace{b+b+\cdots+b}\\{a}\\[-4ex] \end{matrix} = \sum_{i=1}^{a}b = a \cdot b
a a b se nazývají činitelé. Výsledek, „a krát b“, se nazývá součin.
Pro výše uvedený příklad součin vyjádřit opakovaným sčítáním: :3 · 4 = 4 + 4 + 4 :4 · 3 = 3 + 3 + 3 + 3
Soubor násobků malých přirozených čísel se v didaktice matematiky nazývá násobilka.
Další případy násobení
Při násobení více nebo mnoha čísel se používá písmeno Π z řecké abecedy (případně symboly jemu podobné):
: 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 = \prod_{i=1}^5 (2i+1) = 10\ 395 nebo také : \frac{3}{1} \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdot \; \dots \; \cdot \frac{n+2}{n} = \prod_{i=1}^n \frac{i+2}{i} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}
Existuje i zvláštní případ násobení přirozených čísel - faktoriál
: 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n = \prod_{i=1}^n i = n!
Opakované násobení stejných činitelů obvykle nahrazujeme umocňováním : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6 = 64
Opačná operace násobení je dělení.
Používané symboly
Namísto 3 · 4 se někdy píše také 3 × 4, což bylo obvyklé zejména v minulosti, nyní se v matematice znak × používá speciálně pro kartézský součin množin a vektorový součin vektorů. V počítačových programech nebo na kalkulačkách se často používá znak *. +more Znak × či x připojený bez mezery za číslo se v běžném textu či seznamech běžně používá pro označení počtu věcí či úkonů, například „2× máslo“ v soupisu nákupu nebo „pro výstup s kočárkem stiskněte 2ד. Při násobení proměnnou se zpravidla symbol násobení vynechává úplně, tedy píše se například (5x, xy).
Pravidla
V algebraickém tělese (např. \R a \mathbb Q) platí:
* Zákon asociativní: a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c = a \cdot b \cdot c * Zákon komutativní: a \cdot b = b \cdot a * Zákon distributivní: a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c * Neutrální prvek = 1: a \cdot 1 = a * Inverzní prvek: a \cdot a^{-1} = 1 * Absorbující prvek = 0: a \cdot 0 = 0