Vektorový součin

Vektorový součin je v matematice binární operace násobení vektorů v trojrozměrném vektorovém prostoru se skalárním součinem. Výsledkem této operace je vektor (na rozdíl od součinu skalárního, jehož výsledkem je při součinu dvou vektorů skalár) kolmý k oběma násobeným vektorům a jeho velikost je rovna obsahu rovnoběžníku sevřeného násobenými vektory.

Značení

Vektorový součin vektorů \mathbf{a} a \mathbf{b} se obvykle značí jedním z následujících způsobů: * \mathbf{a} \times \mathbf{b} * \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} - používáno ve frankofonních zemích * [\mathbf{a}\mathbf{b}] - používáno v Rusku

Definice

Mějme aritmetický vektorový prostor \mathbb{R}^{3} s kanonickou bází nad číselným tělesem \mathbb{R}, pak pro vektory \mathbf{c},\mathbf{a},\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{3} platí, že vektor \mathbf{c} je vektorovým součinem vektorů \mathbf{a},\mathbf{b} vzhledem k uvedené bázi, právě když:

:\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{n} \left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| \sin \varphi,

kde \varphi \in \left \langle 0,\pi \right \rangle je úhel svíraný vektory \mathbf{a} a \mathbf{b} a kde \mathbf{n} je jednotkový vektor k nim kolmý, tj. vektorový součin je vnější součin ve třech rozměrech.

Výše uvedené jednotkové vektory existují dva v závislosti na tom, je-li souřadný systém definován jako pravotočivý nebo levotočivý. V pravotočivém souřadném systému lze použít pravidlo pravé ruky: je-li vektor \mathbf{a} znázorněn ukazovákem a vektor \mathbf{b} prostředníkem pravé ruky, přičemž ukazovák je natažený v rovině dlaně a prostředník směřuje blíže k rovině na dlaň kolmé, pak vektorový součin \mathbf{a} \times \mathbf{b} je ve směru palce.

Vektorový součin lze definovat také bez pomoci úhlu, který oba vektory svírají. Máme-li vektorový součin \mathbf{c}=\mathbf{a} \times \mathbf{b}, pak složky vektoru \mathbf{c} lze určit jako:

:c_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2 :c_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3 :c_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1.

S využitím vzájemně jednoznačného přiřazení třísložkových vektorů a antisymetrických matic řádu 3:

:\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)\qquad \longleftrightarrow \qquad A = \left(\begin{array}{rrr}0&a_3&-a_2\\-a_3&0&a_1\\a_2&-a_1&0\end{array}\right)

lze vektorový součin zavést jako komutátor dvou takových matic:

:\left(\begin{array}{rrr}0&c_3&-c_2\\-c_3&0&c_1\\c_2&-c_1&0\end{array}\right) = C = BA-AB = \left(\begin{array}{ccc}0&a_1b_2-a_2b_1&-(a_3b_1-a_1b_3)\\-(a_1b_2-a_2b_1)&0&a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3&-(a_2b_3-a_3b_2)&0\end{array}\right),

kde množina antisymetrických matic je vzhledem ke komutátoru uzavřená.

Pomocí Levi-Civitova symbolu je možné složky vektorového součinu zapsat jako:

:c_i = \varepsilon_{ijk} a_j b_k.

Zobecnění při zachování bilinearity

Vektorový součin dvou vektorů není pravý vektor, ale tzv. pseudovektor, tzn. +more při zrcadlení vztažné soustavy se transformuje s opačným znaménkem než pravé vektory. Chceme-li s vektorovým součinem operovat kovariantně, vyjádříme jeho složky jako prvky antisymetrického tenzoru druhého řádu:.

:d_{ij} = a_i b_j - a_j b_i.

Počet nezávislých složek takovéhoto antisymetrického tenzoru je roven třem pouze ve třírozměrném prostoru, proto lze provést přiřazení:

:d_{23} = -d_{32} = c_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2 :d_{31} = -d_{13} = c_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3 :d_{12} = -d_{21} = c_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1 :d_{11} = d_{22} = d_{33} = 0.

Toto přiřazení je speciálním případem tzv. Hodgeova duálu a umožňuje zobecnění vektorového součinu i do prostorů s dimenzí různou od 3. +more (Např. ve čtyřrozměrném prostoru je počet nezávislých složek antisymetrického tenzoru druhého řádu 6, takže jej již nelze vyjádřit jako pseudovektor a zobecněním vektorového součinu je pseudotenzor druhého řádu. ).

Zobecnění v n-rozměrném prostoru

Vlastnosti

Vektorový součin pro všechny nenulové vektory \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^{3} a všechna a \in \mathbb{R} platí: * Vektorový součin je homogenní funkce, tj. +more: :a^2 (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) = (a\,\mathbf{u}) \times (a\,\mathbf{v}) \ \ \ \ \ resp. \ \ \ \ \ a\, (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) = (a \mathbf{u}) \times \mathbf{v} = \mathbf{u} \times (a \mathbf{v}). * Vektorový součin není asociativní, tj. platí pro něj Jacobiho rovnost: :(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w}=\mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w})+\mathbf{v} \times (\mathbf{w} \times \mathbf{u}). * Vektorový součin je distributivní vůči sčítání, tj. jedná se o bilineární operaci: :\mathbf{w} \times (\mathbf{u} + \mathbf{v}) = (\mathbf{w} \times \mathbf{u}) + (\mathbf{w} \times \mathbf{v}). * Vektorový součin je antikomutativní, tj. : :(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) = - (\mathbf{v} \times \mathbf{u}). * Vektorový součin vektorů \mathbf{u} a \mathbf{v} je nulový vektor (\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{0}), právě když jsou násobené vektory kolineární. * Pro derivaci vektorového součinu v třírozměrném prostoru platí: :(\mathbf{u} \times \mathbf{v})' = \mathbf{u}' \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{v}'. * Tvoří-li vektory \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} (v tomto pořadí) pravotočivou ortonormální bázi třírozměrného prostoru, pak: :\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k} :\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i} :\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}. * V uvedené bázi lze vektorový součin vektorů \mathbf{u} a \mathbf{v} zapsat pomocí determinantu jako: :\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} .

Příklad

Součin vektorů u = (1,2,0) a v = (0,1,2) se vypočítá následovně:

* Výpočet pomocí definice: :\mathbf{u} \times \mathbf{v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2 ~,~ u_3 v_1 - u_1 v_3 ~,~ u_1 v_2 - u_2 v_1) :\mathbf{u} \times \mathbf{v} = (1,2,0) \times (0,1,2) = (2 \cdot 2 - 0 \cdot 1 ,~ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 2 ,~ 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) = (4,-2,1) :\mathbf{v} \times \mathbf{u} = (0,1,2) \times (1,2,0) = (1 \cdot 0 - 2 \cdot 2 ,~ 2 \cdot 1 - 0 \cdot 0 ,~ 0 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = (-4,2,-1) Je zřejmé, že vektory u×v a v×u jsou navzájem opačné vektory. Oba jsou kolmé na rovinu určenou vektory u, v.

* Výpočet pomocí determinantu matice: :\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}

kde pro výpočet determinantu matice řádu 3 lze použít například Sarrusovo pravidlo:

: \begin{array}{rcl} \mathbf{u} \times \mathbf{v} & = & \mathbf{i} u_2 v_3 + u_1 v_2 \mathbf{k} + v_1 \mathbf{j} u_3 - \mathbf{k} u_2 v_1 - u_3 v_2 \mathbf{i} - v_3 \mathbf{j} u_1 \\ ~ & = & \mathbf{i} \cdot 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot \mathbf{k} + 0 \cdot \mathbf{j} \cdot 0 - \mathbf{k} \cdot 2 \cdot 0 - 0 \cdot 1 \cdot \mathbf{i} - 2 \cdot \mathbf{j} \cdot 1 \\ ~ & = & 4 \mathbf{i} - 2 \mathbf{j} + 1 \mathbf{k} \end{array}

kde i, j, k jsou jednotkové vektory kolineární s jednotlivými souřadnými osami, tedy i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1), tj,:

:\mathbf{u} \times \mathbf{v} = 4 \cdot (1,0,0) - 2 \cdot (0,1,0) + 1 \cdot (0,0,1) = (4,-2,1)

Výpočet v×u je analogický.

Aplikace

Moment síly

Vektorový součin je hojně využíván ve fyzice, např. moment síly \mathbf{M} je definován následovně:

:\mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F},

kde \mathbf{r} je polohový vektor působiště síly. Podobně vypadá i moment hybnosti \mathbf{L}:

:\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p},

kde \mathbf{p} značí hybnost hmotného bodu, který má polohu \mathbf{r} vůči zvolenému počátku souřadnic. Moment síly a moment hybnosti spolu úzce souvisí. +more Ukáže se to při pokusu o derivování momentu hybnosti podle času:.

:\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{r} \times \mathbf{p}) = \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} \times \mathbf{p} + \mathbf{r} \times \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}.

Zde bylo využito výše zmíněného pravidla pro derivaci vektorového součinu. Výraz \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} je v kinematice přesná definice rychlosti \mathbf{v} tělesa. +more Podobně tak \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} definuje sílu. Poslední užitá fyzikální rovnost se týká hybnosti. \mathbf{p}=m\mathbf{v}. Na základě těchto opisů lze derivaci momentu hybnosti upravit do tvaru:.

:m(\mathbf{v}\times\mathbf{v})+\mathbf{r}\times \mathbf{F},

kde vektorový součin dvou identických vektorů \mathbf{v}\times\mathbf{v} je roven nule, pak dostaneme:

:\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{r}\times \mathbf{F}=\mathbf{M}.

Moment síly je tedy časová derivace momentu hybnosti. V praktickém světě se tohoto vztahu dá využít např. +more v orbitální mechanice. Planeta, která obíhá kolem Slunce tvořícího počátek souřadnic, má nulový moment síly, neboť gravitační síla i polohový vektor mají stejný směr. Moment hybnosti této planety se určí integrováním:.

:\mathbf{L}=\int\mathbf{M}\,\mathrm{d}t=\int0\,\mathrm{d}t=C,

kde C je integrační konstanta. Jinými slovy \mathbf{L}=\mathrm{konst}, což je pravidlo charakteristické pro 2. Keplerův zákon.

Operátor rotace

Další forma vektorového součinu důležitá pro fyziku je operátor rotace. Jedná se o diferenciální operátor, jehož aplikování na vektor \mathbf{F}=(F_x, F_y, F_z) má strukturu:

:\operatorname{rot}\,\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} = \left ( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right ) ,

kde \nabla značí operátor nabla:

:{\nabla} = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right).

Rotace se vyskytuje ku příkladu v prvních dvou Maxwellových rovnicích zapsaných v diferenciálním tvaru:

:\nabla\times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{j}+\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} :\nabla\times \boldsymbol{E}=- \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}.

Reference

Související články

Vektorový prostor * Skalární součin * Smíšený součin

Externí odkazy

Kategorie:Lineární algebra Kategorie:Binární operace