Tenzor

Tenzor je v matematice objekt, který je zobecněním pojmu vektor. Zatímco složky vektoru je možné označit jedním indexem, tenzor může mít více indexů, např. T_{kl \cdots n}.

Jako tenzor T se označuje soubor reálných a nebo komplexních čísel T_{{i_1}{i_2} \cdots {i_n}} (počet indexů je n), které se nazývají složky (komponenty) tenzoru a které se při transformaci souřadnic x_i^\prime = \sum_j a_{ij} x_j transformují následujícím způsobem: :T_{{i_1}{i_2} \cdots {i_n}}^\prime = \sum_{{k_1}{k_2} \cdots {k_n}} a_{{i_1}{k_1}} a_{{i_2}{k_2}} \cdots a_{{i_n}{k_n}} T_{{k_1}{k_2} \cdots {k_n}}

Tato transformace tenzorů je multilineární zobrazení, tedy zobrazení, které je lineární v každé složce. Podobně jako vektor je tenzor, jakožto samostatný objekt vůči reprezentaci v dané soustavě souřadnic invariantní. +more Jeho složky (tedy konkrétní reprezentace) však, stejně jako u vektoru, závisí na volbě souřadnic.

Pokud n je počet indexů tenzoru T, nazýváme T tenzorem n-tého řádu. Rozlišujeme pak dále indexy kovariantní (dolní) a kontravariantní (horní). +more Má-li tenzor n kovariantních a m kontravariantních složek jeho index je n+m a jedná se o tenzor typu (n,m). Metrický tenzor g_{\mu\nu} má dvě kovariantní složky, jeho index je tak 2 a typ (0,2). Důvodem pro rozlišování kovariantních a kontravariantních složek je jejich vzájemná odlišnost v transformačních pravidlech.

Část matematiky, která při své práci používá tenzory, se označuje jako tenzorový počet. Tenzory se uplatňují nejen v matematice, ale i ve fyzice.

Máme-li např. dva vektory \mathbf{A}, \mathbf{B}, můžeme z nich vytvořit tenzor druhého řádu, jehož složky budou určeny vztahem T_{ij} = A_i B_j. +more Tenzorový charakter je možné ověřit na základě transformačních pravidel pro vektory, tzn. :T_{kl}^\prime = A_k^\prime B_l^\prime = \left(\sum_i a_{ki} A_i\right)\left(\sum_j a_{lj} B_j\right) = \sum_{i,j} a_{ki} a_{lj} A_i B_j = \sum_{i,j} a_{ki} a_{lj} T_{ij}.

Speciálními případy tenzorů jsou tenzory nultého řádu, které se označují jako skaláry, a tenzory prvního řádu, tedy vektory.

Ve fyzice se tenzory druhého řádu obvykle reprezentují jako matice, ale ne všechny matice jsou fyzikálně smysluplnými tenzory.

Definice

Mějme vektorový prostor \mathbf{V} nad tělesem \mathbb{T} a k němu jeho duální prostor \mathbf{V^*}. Tenzor T typu (n,m) je zobrazení

T_{m}^{n}:\mathbf{V^*}\times\cdots\times\mathbf{V^*}\times\mathbf{V}\times\cdots\times\mathbf{V}\to\mathbb{T}

(\mathbf{V} m-krát \mathbf{V^*} n-krát), které je lineární v každém ze svých n+m argumentů.

Je nutné dodat, že pořadí vektorového prostoru po jeho duálu je častější v anglické literatuře a naopak méně časté v české.

Odkazy

Reference

Související články

Tenzorový součin

Externí odkazy

Kategorie:Vektory Kategorie:Vektorový počet