Sarrusovo pravidlo

Technology

12 hours ago

Author

Albert Flores

Sarrusovo pravidlo je matematická metoda, která umožňuje vypočítat determinant matice o rozměru 3x3. Bylo pojmenováno po francouzském matematikovi P. F. Sarrusovi, který jej formuloval. Pravidlo je založeno na principu sčítání a odčítání součinů prvků v matici. Podle tohoto pravidla je determinant matice spočítán tak, že se součinem prvků na hlavní diagonále vynásobí součet součinů prvků na vedlejší diagonále. Poté se tento součin odečte od součtu součinů prvků na vedlejší diagonále v opačném směru. Výsledkem je hodnota determinantu matice. Sarrusovo pravidlo je jednoduchým způsobem, jak rychle a efektivně spočítat determinant třírozměrné matice.

Sarrusovo pravidlo Sarrusovo pravidlo je mnemotechnická pomůcka usnadňující výpočet determinantu matice třetího řádu. Tento determinant obsahuje celkem šest součinů vytvořených z celkem devíti prvků matice a tři tyto součiny jsou opatřeny záporným znaménkem. Sarrusovo pravidlo je snadno zapamatovatelný způsob, jak tyto součiny sestavit a opatřit správným znaménkem.

Pravidlo je pojmenováno po francouzském matematikovi Pierru Frédéricovi Sarrusovi.

Princip

Schéma popisující výpočet determinantu pomocí Sarrusova pravidla

Princip Sarrusova pravidla je zachycen v připojené animaci. Při výpočtu determinantu

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} myšlenkově zopakujeme pod matici první dva řádky. Diagonálně vznikne šest řad, které mají tři prvky. +more Tyto tři prvky vynásobíme a budou tvořit jednotlivé členy determinantu. Členy z hlavní diagonály a s ní rovnoběžných řad ponecháme, členy z vedlejší diagonály a u ní rovnoběžných řad opatříme opačným znaménkem. Všechny členy sečteme. Postupně tedy dostáváme schema : \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{matrix} z něhož vytvoříme šest součinů následujících opatřených znaménkem. \begin{aligned} a_{11} a_{22} a_{33}\\ a_{21} a_{32} a_{13}\\ a_{31} a_{12} a_{23}\\ - a_{13} a_{22} a_{31}\\ - a_{23} a_{32} a_{11}\\ - a_{33} a_{12} a_{21}\end{aligned}.

Sečtením těchto součinů získáme hodnotu determinantu původní matice.\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{21} a_{32} a_{13} + a_{31} a_{12} a_{23} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{23} a_{32} a_{11} - a_{33} a_{12} a_{21}