Determinant

Absolutní hodnota determinantu matice 2 \times 2 udává obsah rovnoběžníku, jehož hrany určují sloupce (nebo řádky) matice.Determinant čtvercové matice je skalár, který je funkcí prvků matice. Charakterizuje některé vlastnosti matice a s ní souvisejícího lineárního zobrazení. Determinant je nenulový, právě když je matice regulární a zobrazení je isomorfismus. Determinant součinu matic je součinem jejich determinantů.

Determinant matice \boldsymbol{A} s prvky a_{ij} se značí \det(\boldsymbol{A}) nebo pomocí svislých čar kolem zápisu prvků matice: : \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} Mezi další zápisy patří zkrácená forma |\boldsymbol{A}|, případně |a_{ij}|. Je-li parametrem jen jedna matice, není třeba psát závorky: \det \boldsymbol{A}.

Determinanty se vyskytují v mnoha oblastech matematiky. Pokud je matice tvořena koeficienty soustavy lineárních rovnic, má soustava jednoznačné řešení, právě když je determinant nenulový. +more V tomto případě je možné vyjádřit každou složku řešení podílem dvou determinantů (Cramerovo pravidlo). Determinanty se používají pro definici charakteristického polynomu matice a k následnému určení vlastních čísel a vlastních vektorů. Při substituci ve vícerozměrném integrálu umožňuje determinant Jacobiho matice provést přechod z kartézských do křivočarých souřadnic. V geometrii vyjadřuje absolutní hodnota determinantu obsah rovnoběžníku a objem rovnoběžnostěnu. Pomocí determinantu je v praxi zapisován vektorový součin a s ním související pojmy, například rotace vektorového pole.

Definice

Determinant čtvercové matice \boldsymbol A řádu n s prvky z libovolného tělesa K (např. reálných či komplexních čísel) nebo komutativního okruhu lze nadefinovat různými způsoby.

Leibnizova formule

Gottfried Leibniz definoval determinant výrazem: :\det\boldsymbol{A} = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n {a}_{i,\sigma(i)}

Součet se počítá přes všechny permutace \sigma čísel \{1,2,\ldots,n\} a \sgn(\sigma) značí znaménko permutace \sigma: sudé permutace mají znaménko +1, a liché -1.

Tento vzorec obsahuje n. (faktoriál) sčítanců, což jej s růstem n rychle činí prakticky nepoužitelným pro výpočet. +more V praxi se proto používají jiné způsoby výpočtu.

Vzorec lze také vyjádřit pomocí Levi-Civitova symbolu \varepsilon_{j_1 j_2 \cdots j_n} jako :\det \boldsymbol{A} = \sum_{j_1,j_2,. ,j_n} \varepsilon_{j_1 j_2 \cdots j_n} a_{1 j_1} a_{2 j_2} \cdots a_{n j_n} = \sum_{j_1,j_2,. +more,j_n} \varepsilon_{j_1 j_2 \cdots j_n} a_{j_1 1} a_{j_2 2} \cdots a_{j_n n}.

Pro okrajový případ prázdné matice řádu 0 se determinant definuje 1 (existuje právě jedna permutace prázdné množiny a prázdný součin je 1).

Rekurentní předpis

Determinant matice řádu 1 je roven jejímu jedinému prvku, neboli \det \boldsymbol A=a_{11}.

Determinant matice řádu n>1 je dán rekurentně předpisem:

:\det \boldsymbol A=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1} A_{i1},

kde kde A_{i1} je determinant matice řádu n-1, která vznikne z matice \boldsymbol A vynecháním i-tého řádku a prvního sloupce

Uvedený postup se nazývá Laplaceův rozvoj podle prvního sloupce.

Axiomatická definice

Zobrazení \det\colon K^{n\times n}\to K z prostoru čtvercových matic do příslušného tělesa K zobrazuje libovolnou matici zapsanou po sloupcích \boldsymbol A=(v_1, \ldots, v_n) na její determinant, pokud splňuje následující tři Weierstrassovy axiomy:

* Je multilineární, tj. lineární v každém sloupci: : Pro všechny vektory v_1,\dots,v_n,w \in K^n platí: :: \begin{align} &\det(v_1,\ldots,v_{i-1},v_i+w,v_{i+1},\ldots,v_n)\\ &=\det(v_1,\ldots,v_{i-1},v_i,v_{i+1},\ldots,v_n) + \det (v_1,\ldots,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots,v_n) \end{align} : Pro všechny vektory v_1,\ldots,v_n \in K^n a všechny skaláry r \in K platí: :: \det(v_1,\ldots,v_{i-1},r\cdot v_i,v_{i+1},\ldots,v_n) = r \cdot \det(v_1,\ldots,v_{i-1},v_i,v_{i+1},\ldots,v_n) * Je alternující (střídavá), tj. +more pokud se dva sloupce matice shodují, je determinant roven 0: :Pro všechny vektory v_1,\ldots,v_n \in K^n a všechny dvojice indexů i, j \in \{1,\ldots,n\}, i\ne j: :: \det(v_1,\ldots,v_{i-1},v_i,v_{i+1},\ldots,v_{j-1},v_i,v_{j+1}\ldots,v_n) = 0 : Z toho vyplývá, že při záměně dvou sloupců se znaménko změní: : Pro všechny vektory v_1,\ldots,v_n \in K^n a všechny dvojice indexů i, j \in \{1,\ldots,n\}, i\ne j: :: \det(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_j,\ldots,v_n) = -\det(v_1,\ldots,v_j,\ldots,v_i,\ldots,v_n) : Tento vztah se často používá k definici střídavosti, ale ekvivalentní s výše uvedeným, jen pokud má příslušné těleso charakteristiku různou od 2. * Je normalizovaná, tj. jednotková matice má determinant 1: ::\det \mathbf I=1.

Karl Weierstrass dokázal v roce 1864, ale patrně již dříve, že normalizovaná alternující multilineární forma \det na algebře čtvercových matic řádu n vždy existuje a je jednoznačná.

Ukázky

Matice řádu 2

Na dvouprvkové množině jsou dvě permutace: sudá identita (1,2) a lichá transpozice (2,1). Podle Leibnizovy formule i rekurentního předpisu dostáváme vzorec pro determinant: :\det\boldsymbol{A} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12} Ukázka výpočtu determinantu:

: \det \begin{pmatrix} 3 & 7 \\1 & -4 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 1 & {-4} \end{vmatrix} = 3 \cdot (-4) - 7 \cdot 1 = -19.

Sarrusovým pravidlem

Matice řádu 3

Pro matici \boldsymbol A řádu 3 má Leibnizův vzorec šest členů. Tři odpovídají sudým permutacím (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2), zatímco zbývající tři lichým (1,3,2), (2,1,3), (3,2,1):

: \det\boldsymbol{A} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31} \,

Permutace (1, 2, 3) odpovídá sčítanci +a_{11}a_{22}a_{33}, zatímco (1,3,2) odpovídá členu -a_{11}a_{23}a_{32} apod.

Ukázka výpočtu determinantu:

: \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \cdot 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 \cdot 1 - 0 \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 3 \cdot 0 - 2 \cdot 2 \cdot 1 = 0 + 1 + 6 - 4 = 3

Rekurentní předpis dává stejný výsledek:

: \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} -3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} +1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}

: = 0 \cdot (2 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - 3 \cdot (1 \cdot 0 - 1 \cdot 2) + 1 \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) = 0 + 6 - 3 = 3

Mnemotechnická pomůcka sloužící k zapamatování postupu výpočtu determinantu třetího řádu se nazývá Sarrusovo pravidlo.

Vlastnosti

Determinant jednotkové matice splňuje \det\mathbf{I}= 1 * Determinant trojúhelníkové matice \boldsymbol A je roven součinu prvků na diagonále: :\det(\boldsymbol A) = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}. * Determinant matice \boldsymbol{A} je roven determinantu transponované matice \boldsymbol{A}^\mathrm{T}: :\det \boldsymbol{A} = \det \boldsymbol{A}^\mathrm{T}. +more * Pokud je jeden z řádků nebo sloupců nulový, je celý determinant roven nule. * Pokud lze prvky i-tého řádku matice zapsat jako c \cdot a_{ij}, pak platí: :\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ c a_{i1} & c a_{i2} & \cdots & c a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = c \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}, :tzn. determinant je homogenní funkcí (stupně jedna) svých řádků (i sloupců). * Speciální případ předchozí vlastnosti nastane u matice \boldsymbol{B}, jejíž prvky lze vyjádřit vynásobením prvků čtvercové matice \boldsymbol{A} řádu n číslem c, takže b_{ij} = c \cdot a_{ij}. V tomto případě platí: :\det \boldsymbol{B} = c^n \det \boldsymbol{A} * Pro součet determinantů dvou matic, které se vzájemně liší v jednom řádku platí: :\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} + b_{i1} & a_{i2} + b_{i2} & \cdots & a_{in} + b_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}, :neboli determinant je aditivní funkcí svých řádků (i sloupců). * Aditivita spolu s homogenitou znamenají, že determinant je multilineární formou svých řádků i sloupců. * Determinant je alternující forma vzhledem k záměně dvou řádků, popř. sloupců, což znamená, že při záměně dvou řádků nebo dvou sloupců se znaménko determinantu změní na opačné. * Pokud má matice \boldsymbol{A} dva řádky nebo dva sloupce shodné, pak je \det \boldsymbol{A} = 0. * Obecněji, pokud je jeden řádek (nebo sloupec) jako lineární kombinací ostatních řádků (sloupců), čili matice je singulární, je její determinant nulový. * Regulární matice mají nenulový determinant. * Determinant inverzní matice splňuje \det\left(\boldsymbol A^{-1}\right) = \frac{1}{\det\boldsymbol A}. * Determinant součinu čtvercových matic stejného řádu je roven součinu jejich determinantů: :\det \boldsymbol{(AB)}=\det \boldsymbol{(BA)}=\det \boldsymbol{A}\cdot\det \boldsymbol{B}. * Součinem determinantů \det \boldsymbol{A} a \det \boldsymbol{B} je determinant \det \boldsymbol{C}, pro který platí :\begin{vmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \end{vmatrix}, kde prvky matice \boldsymbol{C} jsou dány jedním z následujících vztahů :c_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{kj}, tzn. násobí se řádky matice \boldsymbol A s řádky matice \boldsymbol B, :c_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ji} b_{kj}, tzn. násobí se sloupce matice \boldsymbol A s řádky matice \boldsymbol B, :c_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{jk}, tzn. násobí se řádky matice \boldsymbol A se sloupci matice \boldsymbol B, :c_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ji} b_{jk}, tzn. násobí se sloupce matice \boldsymbol A se sloupci matice \boldsymbol B.

* Determinant v euklidovském prostoru je pseudoskalár, při změně ortonormální báze mění znaménko podle toho, zdali se mění orientace báze či nikoliv.

Geometrický význam determinantu

Matice řádu 2

Výpočet obsahu rovnoběžníku pomocí determinantu matice 2 \times 2. +more Matice řádu dva :\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix} má determinant :\det\boldsymbol{A}=ad-bc \,.

Jeho absolutní hodnotu lze interpretovat jako obsah rovnoběžníku s vrcholy v bodech (0,0), \boldsymbol a_1=(a,b), \boldsymbol a_2=(c,d) a (a+c, b+d), jak je znázorněno na přiloženém diagramu. Znaménko determinantu určuje vzájemnou orientaci vektorů \boldsymbol a_1 a \boldsymbol a_2 a to tak, že \det\boldsymbol A je kladný, pokud úhel mezi vektory \boldsymbol a_1 a \boldsymbol a_2 měřený v kladném směru (tedy proti směru hodinových ručiček) je menší než \pi, a je záporný, pokud je tento úhel větší než \pi.

Namísto řádkových vektorů lze vzít i sloupcové.

Objem rovnoběžnostěnu je absolutní hodnotou determinantu matice jejíž řádky (nebo sloupce) jsou vektory r_1, r_2 a r_3. +more.

Matice řádu 3

Podobný geometrický význam jako i determinant matic \boldsymbol{B}=(b_{ij}) řádu tři. Řádkové vektory

:\boldsymbol{b}_1=(b_{11},b_{12},b_{13}), \, \boldsymbol{b}_2=(b_{21},b_{22},b_{23}), \,\boldsymbol{b}_3=(b_{31},b_{32},b_{33})

určují v třídimenzionálním prostoru rovnoběžnostěn, jehož objem je roven |\det \boldsymbol B|. Pokud je \det \boldsymbol B kladný, tak je posloupnost vektorů \boldsymbol b_1, \boldsymbol b_2, \boldsymbol b_3 pravotočivá, a je-li záporný, pokud je levotočivá.

Matice vyšších řádů

V Eukleidovských prostorech vyšších dimenzí lze determinant chápat jako (orientovaný) objem obecného n-rozměrného rovnoběžnostěnu, a jeho znaménko jako indikátor orientace (pravotočivosti, respektive levotočivosti) posloupnosti vektorů \boldsymbol b_1, \boldsymbol b_2,\ldots, \boldsymbol b_n.

Z geometrické interpretace vyplývá, že v případě nulového determinantu má příslušný rovnoběžnostěn nulový objem. To nastane, právě když lze alespoň jeden z vektorů vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních. +more Vektory (ať už řádkové nebo sloupcové) v tomto případě generují prostor dimenze nižší, než je řád matice. Taková matice se nazývá singulární. Naopak matice, jejíž determinant je nenulový, je regulární.

Metody výpočtu

Řádkové a sloupcové úpravy matice

Metoda spočívá v provedení úprav matice, které nemění hodnotu determinantu nezmění nebo změní kontrolovaným způsobem a přitom některé prvky matice redukuje na 0, čímž se zjednoduší výpočet hodnoty determinantu. Cílem prováděných úprav je získat horní trojúhelníkovou matici \boldsymbol A (tedy pro i > j je a_ = 0), neboť pro tu platí: :\det\boldsymbol{A} = a_ a_ \cdots a_ \,, neboli determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na hlavní diagonále matice.

Například determinant matice \boldsymbol B, kterou získáme z matice \boldsymbol A tak, že k libovolnému řádku matice \boldsymbol A přičteme násobek některého z ostatních řádků matice \boldsymbol A, je roven determinantu matice \boldsymbol A, neboli \det \boldsymbol{B} = \det \boldsymbol{A}. Obecněji, přičteme-li k řádku lineární kombinaci ostatních řádků, hodnota determinantu se nezmění. +more Podobně lze postupovat i pro sloupce.

Kromě toho lze použít i další pravidla, která však mění hodnotu determinantu: * Pokud \boldsymbol B vznikne z \boldsymbol A výměnou dvou řádku nebo sloupců, potom \det\boldsymbol{B} = -\det\boldsymbol{A} \,. * Pokud \boldsymbol B vznikne z \boldsymbol A vynásobením řádku nebo sloupce skalárem c, potom \det\boldsymbol{B} = c\det\boldsymbol{A} \,. +more Gaussova eliminace udává postup, jak s použitím uvedených pravidel převedeme matici na horní trojúhelníkovou matici. Navíc je garantováno, že stačí provést nejvýše kvadraticky mnoho řádkových úprav vzhledem k řádu matice.

Následující konkrétní ukázka ilustruje výpočet determinantu matice \boldsymbol A pomocí elementárních řádkových úprav: : \boldsymbol A = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \\ -3 & 2 & -2 \end{pmatrix}.

Získaná úpravou	přičtení druhého řádku k třetímu	přičtení trojnásobku prvního řádku k druhému	záměna druhého a třetího řádku	přičtení -\frac{13} 3 násobku druhého řádku k třetímu
Determinant	\boldsymbol A| = |\boldsymbol B	\boldsymbol B| = |\boldsymbol C	\boldsymbol D| = -|\boldsymbol C	\boldsymbol E| = |\boldsymbol D

Z posloupnosti provedených úprav vyplývá |\boldsymbol A| = -|\boldsymbol E| = -((-1) \cdot 3 \cdot 18) = 54.

Laplaceův rozvoj

Metoda odpovídá rekurentní definici determinantu. Je vhodná pro řídké matice neboli matice s mnoha nulovými prvky. Rozvoj podle i-tého řádku je dán vzorcem:

:\det\boldsymbol{A} = \sum_{j=1}^n\ {a}_{ij}(-1)^{i+j}A_{ij}

kde {A}_{ij} je determinant matice, která vznikne z \boldsymbol A odstraněním i-tého řádku a j-tého sloupce. Takto získaná matice se nazývá podmatice, determinant k ní příslušný se nazývá subdeterminant a člen (-1)^{i+j}A_{ij} se nazývá kofaktor.

Rozvoj podle j-tého sloupce je dán vzorcem:

:\det\boldsymbol{A} = \sum_{i=1}^n\ {a}_{ij}(-1)^{i+j}A_{ij}

(Jediná změna je v použitém sumačním indexu.)

Výpočetní a bitová složitost

Výpočetní složitost výpočtu determinantu matice řádu n z definice Leibnizovou formulí nebo rekurentní aplikací Laplaceova rozvoje je asymptoticky \operatorname O(n. ), zatímco běžná Gaussova eliminace má složitost pouze \operatorname O(n^3) a v některých případech lze postupovat ještě rychleji (viz například Strassenův algoritmus). +more Proto je výpočetně smysluplné pro rozvoj využívat pouze řádky nebo sloupce, které obsahují jen jeden nenulový prvek, neboť už u dvou prvků v řádku či sloupci je výpočetně efektivnější jeden z nich eliminovat řádkovou nebo sloupcovou úpravou (až na malé matice řádů nejvýše tři).

Kromě složitosti algoritmu lze k porovnání algoritmů použít i další kritéria. Zejména pro aplikace týkající se matic nad okruhy existují algoritmy, které počítají determinant bez jakéhokoli dělení. +more (Naproti tomu Gaussova eliminace vyžaduje dělení. ) Jeden takový algoritmus, který má složitost \operatorname O(n^4), je založen na následující myšlence: Permutace (jako v Leibnizově pravidle) nahradíme takzvanými uzavřenými uspořádanými sledy, v nichž se mohou prvky opakovat. Výsledný součet má více členů než v Leibnizově pravidle, ale v procesu lze několik z těchto součinů znovu použít, takže je efektivnější než naivní výpočet s Leibnizovým pravidlem. Algoritmy lze také hodnotit podle jejich bitové složitosti, tj. kolik bitů přesnosti je potřeba k uložení dočasných hodnot vyskytujících se ve výpočtu. Například metoda Gaussova eliminace (nebo LU rozklad) má výpočetní složitost \operatorname O(n^3), ale bitová délka mezihodnot může být exponenciálně dlouhá. Pro srovnání, Bareissův algoritmus, je metoda s přesným dělením (používá tedy dělení, ale pouze v případech, kdy je lze provést beze zbytku), má asymptoticky stejnou výpočetní složitost, ale bitová složitost zhruba odpovídá n-násobku bitové velikosti zápisu původní matice.

Souvislosti s jinými pojmy

Vlastní čísla a charakteristický polynom

Determinant úzce souvisí s vlastními čísly a charakteristickým polynomem matice. Charakteristický polynom matice \boldsymbol A v proměnné t je definován výrazem:

: \chi_{\boldsymbol A}(t) = \det(\boldsymbol A- t \mathbf I)

kde \mathbf I je jednotková matice stejného řádu jako \boldsymbol A . Vlastní čísla matice \boldsymbol A jsou právě všechny kořeny tohoto polynomu, tj. +more taková čísla \lambda ze stejného oboru jako prvky matice, splňující:.

: \chi_\boldsymbol{A}(\lambda) = 0.

Je-li \boldsymbol A matice řádu n s vlastními čísly \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n (zde se rozumí, že vlastní číslo s algebraickou násobností k se v tomto seznamu vyskytuje k-krát), pak determinant matice \boldsymbol A je součin všech jejích vlastních čísel:

: \det(\boldsymbol A) = \prod_{i=1}^n \lambda_i=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.

Pozitivně definitní matice

Hermitovská matice je pozitivně definitní, pokud jsou všechna její vlastní čísla kladná. Uvedená vlastnost je podle Sylvesterova kritéria ekvivalentní podmínce, že determinanty podmatic

: \boldsymbol A_k = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} \end{pmatrix}

jsou kladné pro všechna k\in \{1,\dots,n\}.

Podobné matrice

Matice \boldsymbol A a \boldsymbol B jsou si navzájem podobné, pokud existuje regulární matice \boldsymbol R taková, že \boldsymbol A= \boldsymbol R^{-1} \boldsymbol{BR}. Determinanty podobných matic jsou shodné, protože

: \det \boldsymbol A = \det\left(\boldsymbol R^{-1} \boldsymbol B \boldsymbol R\right) = \det(\boldsymbol R^{-1})\cdot\det\boldsymbol B\cdot\det\boldsymbol R = \left(\det\boldsymbol R\right)^{-1}\cdot\det\boldsymbol B\cdot\det\boldsymbol R = \det\boldsymbol B.

Z uvedeného vyplývá, že je-li f\colon V\to V lineární zobrazení na vektorovém prostoru V konečné dimenze, potom volba báze nijak neovlivní hodnotu determinantu matice tohoto zobrazení.

Stopa

Stopa \operatorname{tr} \boldsymbol A matice \boldsymbol A je definována jako součtem prvků na diagonále \boldsymbol A. Pokud počet vlastních čísel (včetně násobnosti) odpovídá řádu matice, je stopa rovna součtu vlastních čísel. +more Pro matice nad algebraicky uzavřenými tělesy, např. pro komplexní matice \boldsymbol A proto platí:.

: \det(\exp \boldsymbol A) = \exp(\operatorname{tr} \boldsymbol A)

a v důsledku pro reálné matice \boldsymbol A platí také:

: \operatorname{tr}\boldsymbol A = \log(\det(\exp\boldsymbol A))

Zde \exp \boldsymbol A označuje maticovou exponenciálu \boldsymbol A, protože každé vlastní číslo \lambda matice \boldsymbol A odpovídá vlastnímu číslu \exp \lambda matice \exp \boldsymbol A. Konkrétně, pro libovolný logaritmus matice \boldsymbol A, tedy pro každou matici \boldsymbol L vyhovující podmínce:

: \exp\boldsymbol L = \boldsymbol A

je determinant matice \boldsymbol A dán vztahem:

: \det \boldsymbol A = \exp(\operatorname{tr}\boldsymbol L).

Například pro matice řádů 2, 3 a 4, resp. platí:

: \begin{align} \det\boldsymbol A &= \frac{1}{2}\left(\left(\operatorname{tr}\boldsymbol A\right)^2 - \operatorname{tr}\left(\boldsymbol A^2\right)\right), \\ \det\boldsymbol A &= \frac{1}{6}\left(\left(\operatorname{tr}\boldsymbol A\right)^3 - 3(\operatorname{tr}\boldsymbol A)\operatorname{tr}\left(\boldsymbol A^2\right) + 2 \operatorname{tr}\left(\boldsymbol A^3\right)\right), \\ \det\boldsymbol A &= \frac{1}{24}\left(\left(\operatorname{tr}\boldsymbol A\right)^4 - 6\operatorname{tr}\left(\boldsymbol A^2\right)\left(\operatorname{tr}\boldsymbol A\right)^2 + 3\left(\operatorname{tr}\left(\boldsymbol A^2\right)\right)^2 + 8\operatorname{tr}\left(\boldsymbol A^3\right)(\operatorname{tr}\boldsymbol A) - 6\operatorname{tr}\left(\boldsymbol A^4\right)\right). \end{align}

Historie

Historicky byly determinanty (lat. "vymezovat", "určovat") používány dlouho před maticemi. +more Pojem "matice" vznikl až více než 200 let po prvních úvahách o determinantech. Determinant byl původně definován jako vlastnost soustavy lineárních rovnic. Determinant „určuje“, zda má soustava jednoznačné řešení, což nastává právě když je determinant nenulový. V tomto smyslu byly determinanty poprvé použity v čínské učebnici matematiky Devět kapitol matematického umění (九章算術, kolem 3. století před naším letopočtem). V Evropě byla řešení soustav dvou lineárních rovnic vyjádřena Gerolamem Cardanem v roce 1545 entitou podobnou determinantu.

Přibližně o sto let později Gottfried Wilhelm Leibniz a Takakazu Seki nezávisle na sobě studovali soustavy lineárních rovnic o více neznámých. Seki vydal roku 1683 v Japonsku práci, v níž se snažil podat schematické vzorce řešení soustav rovnic pomocí determinantů a objevil pravidlo pro případ tří neznámých, které odpovídá pozdějšímu Sarrusovu pravidlu. +more Obdobnou práci o determinantech vydal Leibniz v roce 1693.

V 18. století se determinanty staly nedílnou součástí technik pro řešení soustav lineárních rovnic. +more Při studiích průsečíků dvou algebraických křivek vypočítal Gabriel Cramer v roce 1750 koeficienty obecné kuželosečky.

: A + By + Cx+ Dy^2 + Exy + x^2 = 0,

která prochází pěti danými body a zavedl Cramerovo pravidlo (bez důkazu), které je po něm dnes pojmenováno. Tento vzorec používal již Colin Maclaurin pro soustavy rovnic až se čtyřmi neznámými. +more Několik známých matematiků jako Étienne Bézout, Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange a Pierre-Simon Laplace se tou dobou primárně zabývalo výpočtem determinantů.

Determinanty jako samostatné funkce studoval jako první Alexandre-Théophile Vandermonde ve své práci o teorii eliminace, dokončené v roce 1771 a zveřejněné v roce 1776. V ní formuloval některá základní tvrzení o determinantech a je proto považován za zakladatele teorie determinantů. +more Mezi tyto výsledky patřilo například tvrzení, že sudý počet záměn dvou sousedních sloupců nebo řádků nemění znaménko determinantu, zatímco znaménko determinantu se změní s lichým počtem záměn. Pierre-Simon Laplace uvedl v roce 1772 obecnou metodu rozvoje determinantu pomocí doplňkových subdeterminantů. Lagrange se bezprostředně poté zabýval determinanty matic druhého a třetího řádu, aplikoval je na problémy z teorie eliminace a dokázal mnoho speciálních případů obecných identit.

Během svých studií binárních a ternárních kvadratických forem používal Carl Friedrich Gauss schematický zápis matice, aniž jej tak však nazýval. Jako vedlejší efekt svých výzkumů definoval dnešní maticový součin, dospěl k pojmu reciprokých (inverzních) determinantů a pro určité speciální případy ukázal roku 1801 větu o determinantu součinu matic. +more Zavedl také slovo „determinant“ (Laplace jej nazýval „resultant“), i když ne v současném významu, ale spíše jako diskriminant polynomu pátého stupně.

Dalším významným přispěvatelem je Jacques Philippe Marie Binet, který formálně vyslovil větu o součinu dvou matic o m sloupcích a n řádcích. Ve speciálním případě m=n se tato věta redukuje na větu o součinu. +more Ve stejný den (30. listopadu 1812), kdy Binet přednesl Akademii svůj příspěvek, přednášel na stejné téma i Augustin-Louis Cauchy. Cauchy začal používat slovo "determinant" v jeho dnešním významu a významně přispěl k tomu, že pro tento pojem termín „determinant“ nakonec převládl. Cauchy dále systematizoval teorii determinantu, shrnul a zjednodušil to, co bylo v té době na toto téma známo, zdokonalil zápis. Zavedl například kofaktory a jasně rozlišoval mezi jednotlivými prvky determinantu a dílčími determinanty různých řádů. Formuloval a dokázal některé věty o determinantech, jako je věta o součinu determinantů nebo její zobecnění, Binetova-Cauchyho formule. Proto lze i Cauchyho považovat za zakladatele teorie determinantu.

Carl Gustav Jacob Jacobi zavedl roku 1841 determinant matice parciálních derivací, který James Joseph Sylvester později nazval Jakobiánem. Ve svých vzpomínkách v Crelle's Journal za rok 1841 se Jacobi speciálně zabývá tímto tématem, stejně jako třídou střídavých funkcí, které Sylvester nazval "alternanty". +more Přibližně v době vydání posledních Jacobiho pamětí se maticemi začali zabývat Sylvester a Arthur Cayley. Cayley 1841 zavedl moderní zápis determinantu pomocí svislých čar.

Axiomatický popis determinantu jako funkce n \times n nezávislých proměnných jako první podal Karl Weierstrass ve svých berlínských přednáškách (nejpozději z roku 1864 a možná ještě před tím), na které pak navázal Ferdinand Georg Frobenius ve svých berlínských přednáškách v letním semestru 1874 a mimo jiné byl pravděpodobně první, kdo systematicky odvodil Laplaceův rozvoj z této axiomatiky.

Na dokončení obecné teorie determinantu navázalo studium speciálních forem determinantů, např. osově symetrických determinantů, cirkulantů, Pfaffiánů, Wronského determinantů, Jakobiánů, Hessiánů a dalších.

Odkazy

Reference

Literatura

Související články

Cramerovo pravidlo * Lineární závislost * Matice * Subdeterminant

Externí odkazy

[url=http://www. umat. +morefeec. vutbr. cz/~novakm/determinanty/cz]Lineární algebra: determinanty[/url] Aplikace, která vypočítá determinant z matice řádu 2-6. Pro matice řádu 4,5,6 zobrazuje postup výpočtu Laplaceovým rozvojem podle řádků/sloupců zvolených uživatelem. * [url=http://www. elektro-energetika. cz/calculations/matreg. php]Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná)[/url] Aplikace, která vypočítá determinant z matice řádu 2-8.

Kategorie:Teorie matic Kategorie:Unární operátory