Rotace (operátor)

Nejběžnějším vektorovým polem s nenulovou rotací je rychlostní pole v řece. Například loďku, která odrazí kolmo od břehu, proud stáčí. Vektorové pole rychlosti proudění má ve všech bodech kromě středu toku nenulovou rotaci. Rotace je diferenciální operátor udávající v každém místě lokální míru rotace (otáčení) vektorového pole.

Definice

Operátor rotace je definován jako působení operátoru nabla prostřednictvím vektorového součinu na vektorovou funkci \mathbf{F}:\mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}:

::\operatorname{rot}\,\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \vec \imath & \vec \jmath &\vec k\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ F_x &F_y &F_z \end{vmatrix} = (\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z})\vec \imath+ (\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x})\vec \jmath+ (\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y})\vec k = \begin{bmatrix}\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \\ \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \\ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\end{bmatrix}

kde v prvním řádku uvedeného determinantu jsou vektory kanonické ortonormální báze 3-rozměrného Eukleidovského prostoru ve směrech kartézských souřadných os x,y,z a \mathbf{F}=\vec \imath F_x+\vec \jmath F_y+\vec k F_z, kde F_x,F_y,F_z jsou spojitě diferencovatelné funkce proměnných x,y,z.

Operátor rotace se označuje \mathrm{rot}, v anglické literatuře \mathrm{curl}. Pro výpočet rotace vektorového pole dvou proměnných formálně dodefinováváme třetí komponentu F_z nulovou.

Nabla je diferenciální operátor, značí se symbolem {\nabla} \equiv \left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right) (tj. symbolem nabla, názvu hebrejského strunného nástroje podobného tvaru), jakožto notací pro zkrácený zápis. +more Svým diferenciálním charakterem působí operátor napravo (tedy na symboly stojící napravo od něj), přičemž se projevuje jeho vektorový charakter. Zcela výjimečně se lze setkat také s tím, že je operátor nabla označován jako Hamiltonův operátor, neboť jej jako první používal sir William Rowan Hamilton. Označení Hamiltonův operátor je však téměř výhradně používáno pro hamiltonián. To je operátor celkové energie v kvantové mechanice, který se od operátoru nabla zásadně liší.

Vlastnosti

Jsou-li F, G vektorová pole, f skalární pole, a, b reálná čísla, potom operátor rotace splňuje následující rovnosti:

Je lineární vůči reálným číslům :\nabla\times \left(a\mathbf{F}+b\mathbf{G}\right) = a\nabla\times \mathbf{F}+b\nabla\times\mathbf{G}.

Rotace gradientu je nulový vektor :\nabla\times \nabla f = \mathrm{rot} \, \mathrm{grad} \, f = \mathbf{0}.

Rotace z vektorového pole násobeného polem skalárním (vektoru funkcí) je :\nabla\times \left(f \mathbf{F}\right) = \nabla f \times \mathbf{F}+f \nabla\times\mathbf{F}.

Rotace z vektorového součinu dvou vektorových polí je :\nabla\times \left(\mathbf{F} \times \mathbf{G}\right) = \left(\mathbf{G}\cdot\nabla\right)\mathbf{F}-\left(\mathbf{F}\cdot\nabla\right)\mathbf{G} +\mathbf{F}\left(\nabla\cdot\mathbf{G}\right)-\mathbf{G}\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right),

kdežto pro rotaci z rotace vektorového pole F platí :\nabla \times \left(\nabla\times \mathbf{F}\right) = \nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)-\Delta \mathbf{F}.

Vyjádření v různých soustavách souřadnic

Je-li F vektorové pole v daných souřadnicích, pak platí:

Ve válcových souřadnicích:

:\nabla \times \mathbf{F} = \left({1 \over r}{\partial F_z \over \partial \varphi} - {\partial F_\varphi \over \partial z}\right) \boldsymbol{\hat r} + \left({\partial F_r \over \partial z} - {\partial F_z \over \partial r}\right) \boldsymbol{\hat \varphi} + {1 \over r}\left({\partial ( r F_\varphi ) \over \partial r} - {\partial F_r \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat z}

Ve sférických souřadnicích:

:\nabla \times \mathbf{F} = {1 \over r\sin\theta}\left({\partial \over \partial \theta} ( F_\varphi\sin\theta ) - {\partial F_\theta \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r} + {1 \over r}\left({1 \over \sin\theta}{\partial F_r \over \partial \varphi} - {\partial \over \partial r} ( r F_\varphi ) \right) \boldsymbol{\hat \theta} + {1 \over r}\left({\partial \over \partial r} ( r F_\theta ) - {\partial F_r \over \partial \theta}\right) \boldsymbol{\hat \varphi}

V obecných ortogonálních souřadnicích má rotace s využitím Laméových koeficientů h_1,h_2,h_3 tvar:

:\nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{h_2 h_3} \left( \frac{\partial \left(h_3 F_3\right)}{\partial x_2}- \frac{\partial \left(h_2 F_2\right)}{\partial x_3} \right)\boldsymbol{\hat x}_1 ::+\ \ \ \ \ \frac{1}{h_1 h_3} \left( \frac{\partial \left(h_1 F_1\right)}{\partial x_3}- \frac{\partial \left(h_3 F_3\right)}{\partial x_1} \right)\boldsymbol{\hat x}_2 ::+\ \ \ \ \ \frac{1}{h_1 h_2} \left( \frac{\partial \left(h_2 F_2\right)}{\partial x_1}- \frac{\partial \left(h_1 F_1\right)}{\partial x_2} \right)\boldsymbol{\hat x}_3

Využití

Rotace využívá Stokesova věta, která převádí křivkový integrál vektorového pole po uzavřené křivce na plošný integrál rotace tohoto vektorového pole přes libovolnou plochu křivkou ohraničenou.

Je-li rotace vektorového pole nulová, pak se toto pole dá napsat jako gradient skalární funkce a nazývá se potenciální vektorové pole.

Rotace vystupuje v řadě fyzikálních zákonů, například v Maxwellových rovnicích.

Odkazy

Související články

Divergence (operátor) * Hamiltonův operátor * Laplaceův operátor * d'Alembertův operátor * Gradient (matematika) * Parciální derivace * Vír

Kategorie:Diferenciální operátory Kategorie:Vektorový počet