Cesko.wiki Vektorové pole
Author
Albert FloresVektorové pole - každému bodu roviny je přiřazen vektor. Vektorové pole je v matematice a fyzice (zpravidla spojitá a dostatečně hladká) funkce přiřazující každému bodu prostoru vektor. V klasické fyzice jsou vektory obvykle umístěny v Euklidovském prostoru, ve speciální relativitě v Minkowského prostoru, obecněji může jít o jakoukoliv hladkou varietu.
Ve fyzice se užívá k popisu toho, jak se daná vektorová veličina mění bod od bodu. Příkladem může být pole rychlostí kapaliny v jednotlivých bodech, nebo vektorové pole síly v gravitačním poli.
Matematicky se vektorové pole na (hladké) varietě definuje jako zobrazení mezi danou varietou a jejím tečným bandlem. Přesněji řečeno, takto se definuje tečné vektorové pole. +more V moderní geometrii se často pod pojmem vektorové pole rozumí jakákoliv sekce vektorového bundlu (takto obecná definice zahrnuje i spinorová nebo tensorová pole na varietách).
Definice
Obecné vektorové pole
Mějme hladkou varietu M, pak vektorovým polem W na M nazveme zobrazeníx\mapsto{}W(x),\quad W(x)\in{}T_x{}M,\ x\in{}M,kde T_x{}M je tečný prostor M v bodě x.
Hladké vektorové pole
Řekneme, že vektorové pole W je hladké, pokud pro každou hladkou funkci f na M, je W[f] opět hladkou funkcí na M. Ekvivalentně v lokálních souřadnicích (\mathcal{O}, x^i) na M: vektorové pole W(x)=\sum_{i}W^i(x)\frac{\partial}{\partial{}x^i}|_{x} nazveme hladké na \mathcal{O}, jestliže všechny funkce W^i jsou hladké na \mathcal{O}.
Transformace pole
Ve fyzice se obvykle zapisuje pole pomocí souřadnic. Někdy je potřebné přejít do nových souřadnic, ve kterých bude zápis vypadat jinak. +more Předpokládejme, pro obecnost, že máme lokální souřadnice \{x_i\} a vektory vyjadřujeme jako tečné vektory, tj. \sum_j a_j \frac{\partial}{\partial x_j}. Nechť je pole zapsáno v původních souřadnicích jako \sum_j f_j(\{x_i\}_i) \frac{\partial}{\partial x_j}, tj. je reprezentováno funkcemi f_i (což jsou souřadnice vektorů). Nechť \{x_i'\}_i jsou nové souřadnice a nechť bod se souřadnicemi \{x_i'\}_i má v starých souřadnicích zápis \{x_i\}_i=\psi(\{x_i'\}_i) kde \psi je homeomorfizmus. Pak v nových souřadnicích se dá pole zapsat jako \sum_j \sum_i f_i\circ\psi(\{x_k'\}_k) \frac{\partial x_j'}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_j'}.
Ve fyzice se obvykle předpokládá, že pokud jsme schopni vektorové pole nějak měřit nebo počítat z jiných veličin, pak změníme pozorovatele takovým způsobem, aby se „fyzikální zákony“ nezměnily (například v klasické fyzice je to posunutí, otočení a zrcadlení pozorovatele, ve speciální relativitě Poincarého transformace), pak by pozorovatel v nových souřadnicích měl být schopen změřit nebo spočíst to samé pole (třebaže v souřadnicích jinak vyjádřené).