Cesko.wiki Laméovy koeficienty (křivočaré souřadnice)
Author
Albert FloresLaméovy koeficienty (též Lamého koeficienty) jsou v matematice výrazy, které udávají vztah mezi i-tým bázovým vektorem \vec{\boldsymbol{e}_i} a derivací podle i-té souřadnice \partial\vec{\boldsymbol{x}}/\partial{q_i}. Vyskytují se ve vzorcích pro výpočet gradientu, divergence a rotace v jiných než kartézských souřadnicích (např. křivočarých). V případě ortogonálních souřadnic jsou vektory derivace podle souřadnice \partial\vec{\boldsymbol{x}}/\partial{q_i} a gradient souřadnice \vec{\nabla}q_i rovnoběžné a podíl jejich délek je kvadrát odpovídajícího Lamého koeficientu. Jsou pojmenovány po Gabrielu Laméovi.
Definice
Mějme n-rozměrný afinní prostor V (tedy například trojrozměrný euklidovský prostor) a na něm zavedené souřadnice q_i. Dokážeme tedy vyjádřit zobrazení X(q_1, . +more q_n), které n-tici souřadnic přiřadí jim odpovídající bod z V. Je-li toto zobrazení diferencovatelné, Lamého koeficienty h_1 až h_n definujeme jako:.
h_i(q_1, ... q_n) = \begin{Vmatrix} \dfrac{\partial X}{\partial q_i}(q_1, ... q_n) \end{Vmatrix}
Každý Lamého koeficient je tedy vlastně skalární pole. Protože závislost na konkrétních souřadnicích je zřejmá z definice, je zvykem místo h_i(q_1, . +more q_n) psát pouze h_i.
Protože se bázové vektory \vec{\boldsymbol{e}_i} definují jako jednotkové vektory ve směru \partial X/\partial{q_i}, platí:
\frac{\partial X}{\partial q_i} = \begin{Vmatrix} \dfrac{\partial X}{\partial q_i} \end{Vmatrix} \; \vec{e_i} = h_i \vec{e_i}
Jsou-li souřadnice q_i navíc ortogonální, tedy platí-li \vec{e_i} \perp \vec{e_j} pro každé i \neq j (zde nám již nestačí afinní prostor, potřebujeme unitární prostor se skalárním součinem), potom navíc platí:
\vec{\nabla} q_i = \frac{1}{h_i} \vec{e_i}, \;\;\;\;\; \frac{\partial \vec{x}}{\partial q_i} = {(h_i)}^2 \; \vec{\nabla} q_i
kde \vec{x} je polohový vektor v kartézských souřadnicích a předpokládáme, že \vec{x} = \vec{x}(q_1, ... q_n) a q_i = q_i(\vec{x}).