Integrál

Integrál jako plocha pod křivkou Animace souvislosti plochy pod grafem funkce (určitý integrál) a primitivní funkcí (neurčitý integrál). Integrál je jeden ze základních pojmů matematiky. Spolu s derivací tvoří dvě hlavní operace matematické analýzy. Integrál je v určitém smyslu opak derivace a díky tomu umožňuje v aplikacích najit měnící se veličinu nebo její změnu z informace o tom jakou rychlostí se tato veličina mění, dále v geometrii umožňuje najít rovnici křivky z informace o její tečně nebo obsahy některých útvarů v rovině.

Určitý a neurčitý integrál

Pojmem integrál zpravidla rozumíme určitý nebo neurčitý integrál. Jedná se o dvě odlišné koncepce, které spolu úzce souvisí.

Neurčitý integrál je možno chápat jako opak derivace a proto umožňuje z rychlosti měnící se veličiny určit časový průběh této veličiny. Například integrálem funkce popisující rychlost pohybu v čase je funkce popisující polohu objektu jako funkce času. +more Neurčitý integrál zapisujeme symbolem F = \int f(x)\,\mathrm{d}x.

Určitý integrál je možno (pro nezáporné funkce) chápat geometricky jako obsah plochy pod křivkou definovanou grafem funkce nad určitým zadaným intervalem. Integrál funkce f na intervalu [a,b] zapisujeme symbolem \int_a^b \. +more f(x)\,\mathrm{d}x. V aplikacích určitý integrál často figuruje jako změna veličiny, která se na intervalu [a,b] mění rychlostí danou funkcí f.

Principy integrování byly poprvé formulovány nezávisle na sobě Isaacem Newtonem a Gottfriedem Leibnizem na konci 17. století. +more Nezávisle vyvinuli základní větu analýzy, díky níž spojili diferenciální a integrální počet. Nechť ƒ je spojitá reálná funkce na uzavřeném intervalu [a, b] a funkce F je primitivní k funkci ƒ. Potom hodnota (určitého) integrálu funkce ƒ na tomto intervalu je \int_a^b \. f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a).

Určitý integrál

Určitý integrál je pojem, který ve skutečnosti zahrnuje mnoho různých definic, podle přístupu k tvorbě integrálních součtů. V důsledku toho existuje řada různých určitých integrálů. +more Mezi ně patří: * Newtonův integrál (jehož definice souvisí s neurčitým integrálem) * Zobecněný Newtonův integrál * Riemannův integrál (jehož definice vystihuje geometrickou interpretaci „plocha pod křivkou“) * Lebesgueův integrál, který dokáže zintegrovat zvláště širokou třídu funkcí * Mohrův integrál * Duhamelův integrál * Borweinův integrál.

Jednotlivé integrály se liší množinou funkcí, které jsou ve smyslu jednotlivých definic integrovatelné. Pokud však je funkce integrovatelná ve smyslu více definic, pak je hodnota integrálu stejná. +more Definice jsou tedy ekvivalentní nad společnými podmnožinami svých definičních oborů.

V praxi a v základních kurzech matematiky se zpravidla pod pojmem určitý integrál rozumí Riemannův nebo Newtonův integrál.

Neurčitý integrál

Neurčitý integrál funkce je množina jejích primitivních funkcí. Používá se zejména k výpočtu určitého integrálu s využitím základní věty integrálního počtu a při řešení diferenciálních rovnic.

Při hledání primitivní funkce se používají různé integrační techniky, například integrace per partes, substituční metoda, rozklad na parciální zlomky.

Vztah mezi určitým a neurčitým integrálem

Určitý integrál zpravidla počítáme pomocí Základní věty integrálního počtu jako změnu primitivní funkce na uvažovaném intervalu. V tomto smyslu je možno určitý integrál vyjadřovat pomocí neurčitého integrálu. +more * Vztahem F(x) = \int_a^x f(t)\mathrm{d}t je možno definovat primitivní funkci k funkci f pomocí Riemannova integrálu. V tomto smyslu je možno neurčitý integrál vyjadřovat pomocí určitého integrálu. Toto sa využívá v případech, kdy primitivní funkce není elementární funkcí, například integrálsinus. V takovém případě bývá obvyklé použít k výpočtu integrálu numerickou integraci.

Aplikace

Pomocí určitého integrálu lze určit např. obsah rovinného obrazce, délku oblouku rovinné křivky, obsah rotační plochy nebo objem rotačního tělesa. +more Ve fyzice integrál můžeme použít při výpočtu např. statických momentů, momentů setrvačnosti, těžiště tělesa nebo hmotnosti. Integrály se využívají při řešení diferenciálních rovnic, například v populačních modelech.

Zobecnění určitého integrálu

==== Křivkový integrál ====

Křivkový integrál je integrál skalárního nebo vektorového pole počítaný podél křivky.

==== Komplexní integrál ====

V komplexních číslech se zpravidla užívají křivkové integrály. Pokud tyto integrály probíhají po uzavřené křivce v komplexní rovině, lze je zpravidla snadno spočíst pomocí reziduové věty, Cauchyova vzorce nebo Cauchyovy věty.

==== Vícerozměrný integrál ====

Integraci pro funkce více proměnných lze zavést podobně jako pro funkce jedné proměnné. Integrace probíhá vždy na určité oblasti \displaystyle\Omega. +more Je-li \displaystyle f(x_1,x_2,. ,x_n) funkcí \displaystyle n proměnných, pak její integrál na určité n-rozměrné oblasti \displaystyle\Omega označujeme jako vícerozměrný (n-rozměrný, např. dvourozměrný, trojrozměrný apod. ) integrál, přičemž jej zapíšeme některým z následujících způsobů :{\iint\cdots\int}_{\Omega} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\,\mathrm{d}\Omega = {\iint\cdots\int}_{\Omega} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\,\mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \cdots \mathrm{d}x_n = {\iint \cdots \int}_{\Omega} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\,\mathrm{d}^n x.

Počet integračních znaků \int odpovídá počtu proměnných, přes které integrujeme. Je-li ze zápisu integrálu zjevné, že se jedná o vícerozměrný integrál, pak zapisujeme pouze jeden integrační znak, např. +more :\int_\Omega f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\,\mathrm{d}\Omega \,.

Vícerozměrné integrály se obvykle řeší převodem na vícenásobnou integraci pomocí Fubiniovy věty. Mezi vícerozměrné integrály řadíme např. +more plošný a objemový integrál.

Odkazy

Reference

Literatura

Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání.

Související články

primitivní funkce * hlavní hodnota integrálu * diferenciální počet * integrální rovnice * Gaussův integrál * Newtonův integrál * numerická integrace * integrál pohybu ** wind-up * nevlastní integrál * vícerozměrný integrál * určitý integrál * integrace per partes * substituční metoda (integrování)

Externí odkazy

[url=https://web. archive. +moreorg/web/20130325084513/http://integrals. wolfram. com/index. jsp]Online výpočet integrálu[/url] * [url=https://www. integral-calculator. com]Online integrační kalkulačka s postupem[/url].

Kategorie:Integrální počet Kategorie:Matematické symboly