Elementární funkce

Technology

12 hours ago

Author

Jako elementární funkce je označována funkce, kterou lze získat konečným počtem sečtení, odečtení, násobení, dělení a složení z exponenciální, logaritmické, konstantní, mocninné, goniometrické, cyklometrické, hyperbolické a hyperbolometrické funkce. Funkce, které nelze vyjádřit prostřednictvím konečného počtu elementárních funkcí, se označují jako vyšší transcendentní funkce.

Jedná se tedy o algebraické funkce a dále o skupinu transcendentních funkcí, označovaných také jako nižší transcendentní funkce. Elementární jsou tedy ty funkce, se kterými se lidé obvykle seznamují v rámci středoškolské matematiky, a které si proto zvykli vnímat jako základní.

Jelikož goniometrické, cyklometrické, hyperbolické a hyperbolometrická funkce, stejně jako obecnou mocninu, lze v komplexním oboru vyjádřit pomocí exponenciály a logaritmu, tak se někdy v úvodní definici mluví jen o exponenciále, logaritmu a konstantě.

Příklady

Mezi elementární funkce řadíme například: * \frac{e^{\tan(x)}}{1+x^2}\sin\left(\sqrt{1+\ln^2 x}\,\right), * \,\ln(-x^2). Příkladem funkce, která není elementární, je chybová funkce: \mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,dt.

Vlastnosti

Z čistě matematického hlediska nemají žádný jednotný charakter. Ale přesto existují určité společné vlastnosti. Všechny elementární funkce jsou

* diferencovatelné na svém definičním oboru kromě případných izolovaných bodů. * spojité, takže existují i primitivní funkce (jsou integrovatelné). +more Příklad: Mějme funkci f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},~f(x) = \sqrt{\sin^2(x)} = \left|\sin(x)\right|. Tato funkce je diferencovatelná všude kromě bodů x = k\pi\,, kde k\, je celé číslo. Primitivní funkce také zjevně existuje.