Integrace per partes

Integrace per partes (integrace po částech) se používá pro integrování součinu funkcí. Tato metoda je založena na větě o derivaci součinu: :(uv)^\prime =u^\prime v+uv^\prime

Uplatněním této věty na podmínky pro integrál vzniknou následující vzorce: :\int(uv)'\,\mathrm{d}x = \int(u'v)\,\mathrm{d}x + \int(uv')\,\mathrm{d}x :uv = \int(u'v)\,\mathrm{d}x + \int(uv')\,\mathrm{d}x

Úpravou druhé rovnice vznikne metoda integrace označovaná per partes: :\int(uv')\,\mathrm{d}x = uv - \int(u'v)\,\mathrm{d}x Druhý vztah získáme pouhou záměnou u \leftrightarrow v.

Vztah pro integraci po částech bývá také vyjadřován pomocí diferenciálu jako :\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u

Metoda per partes je vhodná pro integrování součinu funkcí. Při hledání integrálu lze metodu per partes použít opakovaně.

Per partes pro neurčitý integrál

Věta

Nechť u(x) a v(x) mají v intervalu (a,b) spojitou první derivaci. Potom v intervalu (a,b) platí:

\int u' v\,\mathrm{d}x = uv - \int u v'\,\mathrm{d}x\mbox{.}

Příklady

\int(x\cdot\cos x)\,\mathrm{d}x = x\cdot\sin x - \int \sin x \,\mathrm{d}x = x\cdot\sin x + \cos x + C, kde bylo použito u = x, v^\prime = \cos x * Pro nalezení \int x^2 \sin x \,\mathrm{d}x položíme u = x^2, v = \sin x, takže dostaneme \int x^2 \sin x \,\mathrm{d}x = - x^2 \cos x + 2 \int x \cos x \mathrm{d}x. Pro řešení získaného integrálu použijeme opět metodu per partes, přičemž položíme u = x, v^\prime = \cos x, tzn. +more \int x \cos x \mathrm{d}x = x \sin x - \int \sin x \mathrm{d}x = x \sin x + \cos x. Dosazením pak získáme konečný výsledek \int x^2 \sin x \mathrm{d}x = -x^2 \cos x + 2(x \sin x + \cos x) + C.

Rychlá výpočetní metoda per partes

Rychlá výpočetní metoda není rozšířením metody per partes. Jedná se o mnemotechnickou pomůcku usnadňující zapamatování postupu výpočtu, jeho zpřehlednění a následně usnadní i kontrolu.

Formálně je možné metodu naznačit následovně:

: \int u(x) v(x) \,\mathrm{d}x = \begin{array}

ccc

Derivace && Integrace \\ \hline \color{green}{ u(x) } && v(x) \\ &\color{green}{ + \atop\searrow} & \\ \color{blue}{ u'(x) } && \color{green}{ v'(x) } \\ &\color{blue}{ - \atop\searrow} & \\ \color{red}{ u(x) } && \color{blue}{ v(x) } \\ &\color{red}{\longrightarrow\atop {+\int} }& \\ \end{array} = \color{green}{\, +u(x)v'(x) } \color{blue}{\, - u'(x)v(x) } \color{red}{\, +\int u(x) } \color{blue}{ v(x) } \color{red}{ \,\mathrm{d}x }

Při integraci součinu dvou funkcí se vytvoří dvousloupcová tabulka, kde se v prvním sloupci derivuje jeden z činitelů a ve druhém sloupci se integruje druhý. V každém kroku (řádku) tabulky si klademe otázku zda jsme schopni integrovat součin na daném řádku. +more Pokud ne, vytvoří se další řádek. Pokud ano, doplní se šipky ( \textstyle { + \atop\searrow}\, \textstyle { - \atop\searrow}\, \textstyle { + \atop\searrow}\, \textstyle { - \atop\searrow}\, \textstyle { + \atop\searrow}\, \dots ) a zapíše výsledek.

Příklady použití

A) Klasické použití rychlé metody per partes (čtyřnásobné):

: \int x^3 \mathrm{e}^x \,\mathrm{d}x = \begin{array}

ccc

D && I \\ \hline x^3 && \mathrm{e}^x \\ & { + \atop\searrow} & \\ 3x^2 && \mathrm{e}^x \\ & { - \atop\searrow} & \\ 6x && \mathrm{e}^x \\ & { + \atop\searrow} & \\ 6 && \mathrm{e}^x \\ & { - \atop\searrow} & \\ 0 && \mathrm{e}^x \\ &{\longrightarrow\atop {+\int} }& \\ \end{array} = x^3 \mathrm{e}^x - 3x^2 \mathrm{e}^x + 6x \mathrm{e}^x - 6 \mathrm{e}^x + C

B) Zacyklení v případech integrace součinu exponenciálních a goniometrických funkcí:

: \underbrace{\int \mathrm{e}^x \sin x \,\mathrm{d}x}_{\color{green}{K}} = \begin{array}

ccc

D && I \\ \hline \mathrm{e}^x && \sin x\\ & { + \atop\searrow} & \\ \mathrm{e}^x && -\cos x \\ & { - \atop\searrow} & \\ \mathrm{e}^x && - \sin x \\ &{\longrightarrow\atop {+\int} }& \\ \end{array} = - \mathrm{e}^x \cos x + \mathrm{e}^x \sin x - \underbrace{\int \mathrm{e}^x \sin x \,\mathrm{d}x}_{\color{green}{K}}

:tj. \quad {\color{green}{K}} = - \mathrm{e}^x \cos x + \mathrm{e}^x \sin x - {\color{green}{K}} \qquad \Longrightarrow \qquad {\color{green}{K}} = \frac{1}{2}\mathrm{e}^x \left( \sin x - \cos x \right) + C

C) Rozšíření na součin v případech kdy má smysl pracovat s derivací integrandu:

: \int \ln x \,\mathrm{d}x = \int 1 \cdot \ln x \,\mathrm{d}x = \begin{array}

ccc

D && I \\ \hline \ln x && 1 \\ & { + \atop\searrow} & \\ \frac{1}{x} && x \\ &{\longrightarrow\atop {-\int} }& \\ \end{array} = x \ln x - \int \frac{1}{x}\cdot x \,\mathrm{d}x = x \ln x - x + C

: \int \mbox{arctg }x \,\mathrm{d}x = \int 1 \cdot \mbox{arctg }x \,\mathrm{d}x = \begin{array}

ccc

D && I \\ \hline \mbox{arctg }x && 1 \\ & { + \atop\searrow} & \\ \frac{1}{1+x^2} && x \\ &{\longrightarrow\atop {-\int} }& \\ \end{array} = x\, \mbox{arctg }x - \int \frac{x}{1+x^2} \,\mathrm{d}x = x\,\mbox{arctg }x - \frac{1}{2}\ln (1+x^2) + C

Užití per partes k odvození vzorců

Primitivní funkce

:: \begin{array}{ll} \displaystyle \int e^{\alpha x}\cos\omega x\,\mathrm{d}x & = \displaystyle \frac{e^{\alpha x}(\omega\sin\omega x+\alpha\cos\omega x)}{\alpha^2+\omega^2}+C\\ \displaystyle \int e^{\alpha x}\sin\omega x \,\mathrm{d}x & = \displaystyle \frac{e^{\alpha x}(\alpha\sin\omega x-\omega\cos\omega x)}{\alpha^2+\omega^2}+C,\quad C\in\R \end{array}

:: atd. \quad\dots\quad

Rekurentní vzorce

:: \begin{array}{lcl} \displaystyle\int\cos^nx \,\mathrm{d}x = J_n & \quad\mbox{potom}\quad & J_{n+2}=\,\,\frac{1}{n+2}\,\cos^{n+1}x\,\sin x\,+\,\frac{n+1}{n+2} \, J_{n}\\ \displaystyle\int\sin^nx \,\mathrm{d}x = J_n & \mbox{potom} & J_{n+2}=-\frac{1}{n+2}\sin^{n+1}x\,\cos x\,+\,\frac{n+1}{n+2}\, J_{n}\\ \displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{(1+x^2)^n} = J_n & \mbox{potom} & J_{n+1}=\,\,\frac{1}{2n}\left(\;\frac{x}{(1+x^2)^n}+(2n-1) \, J_n\;\right) \end{array}

:: atd. \quad\dots\quad

Per partes pro určitý integrál

Věta

Nechť u(x) a v(x) mají v intervalu \langle a,b\rangle spojitou první derivaci. Potom v intervalu \langle a,b \rangle platí:

\int_a^b u' v\,\mathrm{d}x = \left[uv\right]_a^b - \int_a^b u v'\,\mathrm{d}x\mbox{.}

Zápis \left[uv\right]_a^b je zápis použitý v Newton-Leibnizově vzorci pro výpočet Newtonova určitého integrálu.

Příklad

:\int_0^{\pi}(x\cdot\sin x)\,\mathrm{d}x = \bigl[-x\cdot\cos x\bigr]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos x \,\mathrm{d}x = \pi , kde bylo použito u = x, v^\prime = \sin x

Rychlá výpočetní metoda per partes

: \int_0^{\pi} x^3 \sin x \,\mathrm{d}x = \begin{array}

ccc

D && I \\ \hline x^3 && \sin x \\ & { + \atop\searrow} & \\ 3x^2 && -\cos x \\ & { - \atop\searrow} & \\ 6x && -\sin x \\ & { + \atop\searrow} & \\ 6 && \cos x \\ & { - \atop\searrow} & \\ 0 && \sin x \\ &{\longrightarrow\atop {+\int} }& \\ \end{array} = \Bigl[-x^3 \cos x + 3x^2 \sin x + 6x \cos x - 6 \sin x + C\Bigr]_0^{\pi} = \pi^3 - 6 \pi

Odkazy

Reference

Externí odkazy

WolframAlpha: [url=http://www. wolframalpha. +morecom/input/. i=int+x%5E5+e%5Ex+dx]Online výpočet neurčitého integrálu metodou per partes[/url] * WolframAlpha: [url=http://www. wolframalpha. com/input/. i=int+x%5E3+sin+x+dx,+x+from+0+to+pi]Online výpočet určitého integrálu metodou per partes[/url].

Související články

Integrál * Derivace * Substituční metoda (integrování)

Kategorie:Integrální počet