Newtonův integrál

Technology

12 hours ago

Author

Newtonův integrál je v matematice určitý integrál, jehož definice je založena na existenci primitivní funkce.

Historie

Pojem primitivní funkce, jakož i objevení Newtonova-Leibnizova vzorce je připisován Gottfriedu Wilhelmovi Leibnizovi roku 1675 a Isaacu Newtonovi roku 1666. I když se vedly o autorství objevu celého diferenciálního počtu rozepře, oba matematici objev učinili zřejmě nezávisle na sobě. +more Jejich snaha byla zjistit obecný vzorec pro výpočet plochy pod křivkou. V případě Isaaca Newtona byla tato snaha motivována i využitím v mechanice. V 19. století se při snaze eliminovat nejasně definované pojmy infinitesimálních veličin Leibnize a Newtona rozvinula metoda založená na limitě přibližných součtů, dnes nazývaná Riemannův integrál. Na počátku dvacátého století pak vznikla teorie obecného Lebesgueova integrálu.

Definice

Pokud je funkce f spojitá na intervalu \langle a,b\rangle a funkce F je k ní na tomto intervalu primitivní, pak platí:

:\int_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = {[F(x)]}_a^b = F(b)-F(a),

tento vztah je označován jako Newtonova-Leibnizova formule resp. základní věta integrálního počtu.

Newtonova definice určitého integrálu požaduje spojitost funkce na daném intervalu. Pokud je funkce na intervalu pouze po částech spojitá, lze interval v bodech nespojitosti rozdělit a hledat primitivní funkce po částech. +more Pro tento případ je ještě potřeba dodefinovat takzvaný „zobecněný Newtonův integrál“, který je v případě nespojitosti primitivní funkce v krajních bodech definován jako rozdíl jednostranných limit:.

:\int_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = \lim_{x\to b^-} F(x)-\lim_{x\to a^+} F(x)