Riemannův integrál

Riemannův integrál je v matematice určitý integrál, jehož definice je založena na geometrické interpretaci plochy pod křivkou.

Historie

Jeho základní myšlenka byla známa již starým Řekům, kteří jejím užitím dokázali počítat obsahy a objemy některých geometrických objektů (například jehlanu, kužele či koule). Pojmenován byl po německém matematikovi Bernhardu Riemannovi. +more Jeho definice umožňuje jeho použití pouze u funkcí jedné nezávisle proměnné. Pokud existuje Riemannův integrál dané funkce, pak o funkci říkáme, že je Riemannovsky integrovatelná. V zobecnění pro vícerozměrné případy byl nahrazen Lebesgueovým integrálem.

Motivace

Definice Riemannova integrálu vychází z intuitivní představy měření obsahu plochy pod grafem funkce. Má-li se přibližně zjistit tento obsah, provede se to v praxi pokrytím téměř celé měřené plochy útvary o známém obsahu tak, aby nepřesahovaly hranici měřené plochy a vzájemně se nepřekrývaly. +more Po sečtení obsahů všech vložených útvarů vznikne číslo, které je zřejmě menší než obsah měřené plochy - dolní odhad. Obdobně pokrytím celé měřené plochy útvary o známém obsahu vznikne - horní odhad. Obsah měřené plochy pak leží mezi dolním a horním odhadem. Bude-li se používat k pokrývání plochy stále menších a menších útvarů, pak je možné oba odhady stále zpřesňovat, až teoreticky při pokrytí plochy nekonečně mnoha nekonečně malými útvary bude horní i dolní odhad roven stejnému číslu - obsahu plochy. Pro jednoduchost se při zavádění Riemannova integrálu používají za ony útvary, jimiž se plocha pokrývá, obdélníky se stranami rovnoběžnými s osami soustavy souřadnic.

Definice

Uvedeme dvě definice Riemannova integrálu. První definice pochází od Bernharda Riemanna. +more Druhá definice pochází od Gastona Darbouxe. Obě definice jsou ekvivalentní. To znamená, že funkce je integrovatelná podle Darbouxovy definice, právě když je integrovatelná podle Riemannovy definice a hodnota integrálu podle obou definic je shodná. Z Darbouxovy definice lze snadněji odvodit některé důležité vlastnosti Riemannova integrálu, proto se v literatuře vyskytuje častěji. Obě definice užívají pojem dělení D intervalu \langle a,b \rangle definovaný (n+1)-ticí t_{0},. ,t_{n} takovou, že a=t_{0}. Každá funkce, která je na daném intervalu po částech spojitá, je na tomto intervalu také integrovatelná.

Riemannova definice

Dělením body intervalu \langle a,b \rangle nazýváme takovou dvojici (D,C), kde D = (t_{0},. ,t_{n}) a C = (c_{0},. +more,c_{n-1}), že platí t_{i} \le c_{i} \le t_{i+1} pro 0 \le i \le n-1, kde t_{0}=a a t_{n}=b. * Riemannovu sumu funkce f na intervalu \langle a,b \rangle s dělením body (D,C) definujeme jako: :R(f,D,C) = \sum^{n-1}_{i=0} f(c_{i})(t_{i+1} - t_{i}). * Normu dělení \lambda definujeme jako: :\lambda(D) = \max_{0 \le i \le n-1}(t_{i + 1} - t_{i}), normou dělení D tedy rozumíme délku nejdelšího intervalu v D. * Řekneme, že funkce f má na intervalu \langle a,b \rangle Riemannův integrál I \in \mathbb{R}, pokud pro každé \varepsilon > 0 existuje \delta>0 takové, že pro každé dělení body (D,C) intervalu \langle a,b \rangle platí, že: :\lambda(D) \,|I - R(f,D,C)| , tj. I = \lim_{\lambda(D) \to 0}R(f,D,C) = \int\limits_{a}^{b} f(x) \ \mathrm{d}x.

Darbouxova definice

Horní součet pro funkci f a dělení D intervalu \langle a,b \rangle definujeme jako: : S(f,D) = \sum^{n}_{i=1} \sup_{x \in \langle t_{i-1},t_{i} \rangle} f(x) (t_{i}-t_{i-1}). * Horní Riemannův integrál funkce f od a do b definujeme takto: : \int\limits_{a}^{\overline{b}} f(x) \ \mathrm{d}x = \inf_{D \in \mathcal{D}} S(f,D) . +more * Dolní součet pro funkci f a dělení D intervalu \langle a,b \rangle definujeme jako: : s(f,D)= \sum^{n}_{i=1} \inf_{x \in \langle t_{i-1},t_{i} \rangle} f(x) (t_{i}-t_{i-1}). * Dolní Riemannův integrál funkce f od a do b definujeme takto: : \int\limits_{\underline{a}}^{b} f(x) \ \mathrm{d}x = \sup_{D \in \mathcal{D}} s(f,D). Riemannův integrál funkce f od a do b, za předpokladu rovnosti horního a dolního Riemannova integrálu, definujeme takto: :\int\limits_{a}^{b} f(x) \ \mathrm{d}x = \int\limits_{a}^{\overline{b}} f(x) \ \mathrm{d}x = \int\limits_{\underline{a}}^{b} f(x) \ \mathrm{d}x, kde symbolem \sup resp. \inf označujeme supremum resp. infimum a \mathcal{D} je množina všech dělení D intervalu \langle a,b \rangle.

Vlastnosti

Mějme funkce f(x), g(x) integrovatelné na intervalu \langle a,b\rangle. Pak platí :\int_a^b [c_1 f(x)+c_2 g(x)] \mathrm{d}x = c_1 \int_a^b f(x) \mathrm{d}x + c_2 \int_a^b g(x) \mathrm{d}x, :kde c_1, c_2 jsou konstanty. +more Na daném intervalu je tedy integrovatelná také funkce c_1 f(x)+c_2 g(x).

* Integrovatelná je také funkce |f(x)|, přičemž platí :\left|\int_a^b f(x) \mathrm{d}x \right| \leq \int_a^b |f(x)| \mathrm{d}x.

* Také funkce f(x)g(x) je integrovatelná, avšak :\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d}x \neq \int_a^b f(x)\mathrm{d}x \; \int_a^b g(x) \mathrm{d}x. :Pokud je funkce g(x) na intervalu \langle a,b\rangle kladná a zdola ohraničená nebo záporná a shora ohraničená, tedy 0 > K \geq |g(x)|, pak je integrovatelná také funkce f(x)g(x).

* Zvolíme-li na intervalu \langle a,b\rangle bod c takový, že a, pak lze psát :\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \int_a^c f(x)\mathrm{d}x + \int_c^b f(x) \mathrm{d}x.

* Vzájemná záměna mezí intervalu, na němž integrujeme, vede ke změně znaménka integrálu, tzn. :\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = - \int_b^a f(x) \mathrm{d}x.

* Pokud pro všechna x \in \langle a,b\rangle platí f(x) \geq 0, pak :\int_a^b f(x) \mathrm{d}x \geq 0. :Pokud navíc alespoň v jednom bodě c \in \langle a,b\rangle, v němž je funkce f(x) spojitá, platí také f(c)>0, pak :\int_a^b f(x) \mathrm{d}x >0.

* Je-li funkce f(x) na intervalu \langle a,b\rangle spojitá a současně platí \int_a^b f^2(x) \mathrm{d}x=0, pak v celém intervalu \langle a,b\rangle platí f(x)=0.

* Je-li na intervalu \langle a,b\rangle f(x) \geq g(x), pak platí také :\int_a^b f(x)\mathrm{d}x \geq \int_a^b g(x)\mathrm{d}x.

* Je-li na intervalu \langle a,b\rangle funkce f(x) omezená, tzn. m \leq f(x) \leq M, kde m,M jsou konstanty, a funkce g(x) \geq 0, pak platí nerovnosti :m\int_a^b g(x)\mathrm{d}x \leq \int_a^b f(x)g(x)\mathrm{d}x \leq M\int_a^b g(x)\mathrm{d}x.

* Funkce f(x), g(x), které jsou spojité na \langle a,b\rangle, splňují tzv. Schwarzovu nerovnost :{\left(\int_a^b f(x)g(x)\mathrm{d}x \right)}^2 \leq \int_a^b f^2(x)\mathrm{d}x \; \int_a^b g^2(x)\mathrm{d}x.

* Můžeme definovat funkci F(x) proměnné x vztahem :F(x) = \int_a^x f(t)\mathrm{d}t. :Funkce F(x) je spojitou funkcí proměnné x a v každém bodě, v němž je f(x) spojitá, má F(x) derivaci, přičemž platí :\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_a^x f(t)\mathrm{d}t = f(x).

* Podobně lze definovat funkci :G(x) = \int_x^b f(t)\mathrm{d}t, :pro jejíž derivaci dostaneme :\frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_x^b f(t)\mathrm{d}t = -f(x).

* Pokud je funkce f(x) \geq 0 pro všechny body x \in \langle a,b\rangle, pak hodnota integrálu \int_a^b f(x)\mathrm{d}x je rovna obsahu plochy, jejíž obvod tvoří osy x, funkce y=f(x) a rovnoběžky s osou y, které mají rovnice x=a, x=b. :Je-li např. +more na intervalu \langle a,c\rangle f(x) \geq 0 a na intervalu \langle c,b\rangle f(x) \leq 0, pak plocha obrazce ohraničeného křivkou y=f(x) není rovna hodnotě integrálu \int_a^b f(x)\mathrm{d}x, ale součtu integrálů \int_a^c f(x)\mathrm{d}x + \left|\int_c^b f(x)\mathrm{d}x \right|.

* Je-li funkce f(x) spojitá na \langle a,b\rangle a F(x) je na tomto intervalu její libovolná primitivní funkce, pak platí (viz Newtonův integrál) :\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = F(b)-F(a).

Literatura

Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání.

Související články

Newtonův integrál * Lebesgueův integrál * Perronův integrál * Stieltjesův integrál * Kurzweilův integrál * Křivkový integrál * Plošný integrál

Externí odkazy

Kategorie:Integrální počet Integrál