Plocha

Plocha označuje v matematice a fyzice dvojrozměrný geometrický útvar. Příkladem ploch jsou rovina, kulová plocha, povrch válce nebo kuželová plocha. Přesné matematické definice se v různých kontextech a v různých teoriích liší.

Výraz plocha se někdy nesprávně používá nejen pro označení geometrického útvaru, ale také pro označení obsahu geometrického tělesa.

Plochy v euklidovském prostoru

V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného euklidovského prostoru. Můžeme ji definovat jako množinu všech bodů, jejichž souřadnice vyhovují rovnici :F(x,y,z)=0, kde F je funkce, která má v každém bodě spojitou parciální derivaci alespoň prvního řádu a na žádné otevřené množině není identicky rovna nule.

Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají regulární body plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu nulové označujeme jako singulární body. Příkladem singulárního bodu je např. +more vrchol kužele.

Singulární bod, v němž funkce F má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá kónický bod plochy.

Plocha určená svojí normálou se označuje jako orientovaná plocha.

Rovnici plochy lze vyjádřit v různých tvarech.

Implicitní rovnice plochy

Implicitní rovnice plochy má tvar :F(x,y,z)=0

Parametrické rovnice

Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny soustavou rovnic :x=x(u,v) :y=y(u,v) :z=z(u,v) Tato soustava rovnic představuje parametrické vyjádření plochy, přičemž u, v jsou parametry plochy. Každou dvojici u, v z určitého oboru \Omega nazýváme bodem plochy. +more Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na \Omega spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle u a v.

Explicitní rovnice plochy

Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar :z=f(x,y), pak hovoříme o explicitní rovnici plochy.

Základní rovnice plochy

Vztahy mezi normálou plochy \mathbf{n}, rádiusvektorem \mathbf{r} a jejich derivacemi určují tzv. základní rovnice plochy. +more Tyto rovnice lze pro plochu určenou \mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v) uvést v různých tvarech.

Weingartenovy rovnice plochy

Weingartenovy rovnice plochy určují vztahy mezi derivacemi vektorů \mathbf{n} a \mathbf{r}. :\frac{\partial\mathbf{n}}{\partial u} = \frac{FM-GL}{EG-F^2}\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u} + \frac{FL-EM}{EG-F^2}\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v} :\frac{\partial\mathbf{n}}{\partial v} = \frac{FN-GM}{EG-F^2}\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u} + \frac{FM-EN}{EG-F^2}\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v} : :\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u} = \frac{MF-NE}{LN-M^2}\frac{\partial\mathbf{n}}{\partial u} + \frac{ME-LF}{LN-M^2}\frac{\partial\mathbf{n}}{\partial v} :\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v} = \frac{MG-NF}{LN-M^2}\frac{\partial\mathbf{n}}{\partial u} + \frac{MF-LG}{LN-M^2}\frac{\partial\mathbf{n}}{\partial v} kde E, F, G jsou základní veličiny plochy prvního řádu a L, M, N jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

Gaussovy rovnice plochy

Gaussovy rovnice plochy umožňují určit druhou derivaci polohového vektoru \mathbf{r}. :\frac{\partial^2\mathbf{r}}{\partial u^2} = \frac{G\frac{\partial E}{\partial u} - 2F\frac{\partial F}{\partial u} + F\frac{\partial E}{\partial v}}{2(EG-F^2)} \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u} + \frac{-F\frac{\partial E}{\partial u} + 2E\frac{\partial F}{\partial u} - E\frac{\partial E}{\partial v}}{2(EG-F^2)} \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v} + L\mathbf{n} :\frac{\partial^2\mathbf{r}}{\partial u\partial v} = \frac{G\frac{\partial E}{\partial v} - F\frac{\partial G}{\partial u}}{2(EG-F^2)} \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u} + \frac{E\frac{\partial G}{\partial u} - F\frac{\partial E}{\partial v}}{2(EG-F^2)} \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v} + M\mathbf{n} :\frac{\partial^2\mathbf{r}}{\partial v^2} = \frac{-F\frac{\partial G}{\partial v} + 2G\frac{\partial F}{\partial v} - G\frac{\partial G}{\partial u}}{2(EG-F^2)} \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u} + \frac{E\frac{\partial G}{\partial v} - 2F\frac{\partial F}{\partial v} + F\frac{\partial G}{\partial u}}{2(EG-F^2)} \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v} + N\mathbf{n} kde E, F, G jsou základní veličiny plochy prvního řádu a L, M, N jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

Codazziho rovnice plochy

Codazziho (nebo také Mainardiho) rovnice plochy určují vztahy mezi základními veličinami plochy prvního řádu E, F, G a základními veličinami plochy druhého řádu L, M, N. :(EG-2F^2+GE)\left(\frac{\partial L}{\partial v} - \frac{\partial M}{\partial u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\partial E}{\partial v} - \frac{\partial F}{\partial u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\partial E}{\partial u} & L \\ F & \frac{\partial F}{\partial u} & M \\ G & \frac{\partial G}{\partial u} & N \end{vmatrix} = 0 :(EG-2F^2+GE)\left(\frac{\partial M}{\partial v} - \frac{\partial N}{\partial u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\partial F}{\partial v} - \frac{\partial G}{\partial u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\partial E}{\partial v} & L \\ F & \frac{\partial F}{\partial v} & M \\ G & \frac{\partial G}{\partial v} & N \end{vmatrix} = 0

Vlastnosti

Zavedeme matici :\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial u} \\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial v} \end{pmatrix} Body plochy, v nichž má tato matice hodnost h=2 jsou regulárními body. Je-li hodnost matice h, pak jde o singulární body.

* Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v \Omega nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost h=2, pak plochu označujeme jako hladkou.

Související články

Prostorové geometrické útvary * Přímková plocha * Kvadratická plocha * Kuželová plocha * Válcová plocha * Obsah

Externí odkazy

Kategorie:Prostorové geometrické útvary