Normála

Technology

12 hours ago

Author

Normála daného n−1 dimenzionálního podprostoru v n-dimenzionálním prostoru je přímka kolmá na daný podprostor. Vektor určující směr normály se nazývá normálový vektor. V rovinném případě je to vektor kolmý na přímku, v prostorovém případě je to vektor kolmý na rovinu.

Obecněji lze v jednotlivých bodech určovat i normály jiných spojitých n−1 rozměrných útvarů - tzv. nadploch. +more Například v rovině ke křivkám nebo v prostoru k plochám. Normála je pak normálou tečného podprostoru v daném bodě a určuje orientaci nadplochy.

Lze také určovat normály k útvarům nižší dimenze, např. k prostorové křivce. +more V takovém případě však normála není určena jednoznačně. Všechny normály v daném bodě pak tvoří normálový prostor, např. v případě prostorové křivky tvoří všechny normály normálovou rovinu.

Normála plochy

Normála k ploše v bodě je shodná s normálou k rovině tečné k dané ploše ve stejném bodě. +more Je-li rovina dána rovnicí ax+by+cz+d=0, potom je její normálový vektor n roven (a,b,c).

Je-li příslušně hladká plocha dána rovnicemi

:x = x(r,s),\,

:y = y(r,s),\,

:z = z(r,s),\,

potom je vektor normály až na znaménko udán jako

:\mathbf{n} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s} = \left|\begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r}, & \frac{\partial y}{\partial r}, & \frac{\partial z}{\partial r}\\ \frac{\partial x}{\partial s}, & \frac{\partial y}{\partial s}, & \frac{\partial z}{\partial s}\\ \mathbf{e}_1, & \mathbf{e}_2, & \mathbf{e}_3\end{matrix}\right|,

což má přímé zobecnění v n-rozměrném prostoru:

:\mathbf{n} = \left|\begin{matrix} \frac{\partial x_1}{\partial p_1}, & \dots, & \frac{\partial x_n}{\partial p_1}\\ \dots, & \dots, & \dots \\ \frac{\partial x_1}{\partial p_{n-1}}, & \dots, & \frac{\partial x_n}{\partial p_{n-1}}\\ \mathbf{e}_1, & \dots, & \mathbf{e}_n\end{matrix}\right|,

kde p_1,\dots,p_{n-1} jsou parametry plochy.

Je-li plocha dána jako množina bodů (x,y,z) splňujících rovnici :F(x,y,z)=0, potom určíme vektor normály až na znaménko jako gradient F:

:\mathbf{n} = \nabla F(x,y,z).

Normála křivky

Všechny přímky, které prochází daným bodem křivky \mathbf{r}=\mathbf{r}(s), kde s je oblouk křivky, a jsou kolmé na tečný vektor \mathbf{t} v tomto bodě, se označují jako normály křivky v daném bodě.

Hlavní (první) normálou křivky se nazývá přímka, která je její normálou v daném bodě a jejíž směr je určen vektorem \frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s}.

Jednotkový vektor \mathbf{n}, který má stejný směr jako vektor \frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s}, se nazývá jednotkový vektor hlavní (první) normály. Hlavní normála je definována pokud v daném bodě křivky platí \frac{\mathrm{d}^2\mathbf{t}}{\mathrm{d}s^2}\neq 0.

Jednotkový vektor hlavní normály lze pomocí Frenetových vzorců vyjádřit jako :\mathbf{n} = \frac{1}{k_1}\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s} = \frac{1}{k_1}\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}s^2}, kde k_1 je tzv. první křivost.

Vektory \mathbf{t} a \mathbf{n} jsou vzájemně kolmé, tzn. \mathbf{t}\cdot\mathbf{n}=0.

Pokud parametrem křivky není její oblouk s, ale obecný parametr t, tzn. křivka je dána rovnicí \mathbf{r}=\mathbf{r}(t), pak je jednotkový normálový vektor \mathbf{n} dán vztahem :\mathbf{n} = \frac{\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\right) \cdot \left(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\right)}}, kde c = \frac{1}{\sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}}} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}} pokud platí \frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}\neq 0 a \frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\neq 0.