Přímka

Přímka je jednorozměrný základní geometrický útvar.

Lze ji popsat jako nekonečně tenkou, dvoustranně nekonečně dlouhou, dokonale rovnou křivku (pojem křivka v matematice zahrnuje i „rovné křivky“), tedy křivku s nekonečně velkým poloměrem zakřivení. V euklidovské geometrii pro každé dva body existuje právě jedna přímka, která oběma prochází. +more Tato přímka obsahuje nejkratší spojnici mezi dotyčnými body, úsečku z jednoho bodu do druhého.

Z fyzikálního hlediska je přímka trajektorie fotonu neovlivněného gravitací.

Speciální případ přímky je osa.

Znázornění a značení

Přímka se znázorňuje rovnou čarou, označuje se malým písmenem, např. a, b, c, . +more Přímka procházející dvěma body A,B bývá také značena \overleftrightarrow{AB}.

Znázornění:

Soubor:Primka.png

Algebraický zápis

Přímku v rovině lze algebraicky popsat pomocí lineárních rovnic nebo lineárních funkcí.

Tento intuitivní koncept přímky lze formalizovat několika způsoby. Jestliže je geometrie postavena axiomaticky (jako v Eukleidových Základech a později ve Foundations of Geometry Davida Hilberta), potom přímky nejsou vůbec definovány, nýbrž axiomaticky charakterizovány svými vlastnostmi. +more „Vše, co splňuje axiomy pro přímku, je přímka. “ Zatímco Eukleidés definoval přímku jako „délku bez šířky“, ve svých pozdějších vývodech tuto mlhavou definici nepoužíval.

V eukleidovském prostoru Rn (a analogicky ve všech ostatních vektorových prostorech) definujeme přímku L jako podmnožinu ve tvaru

: L = \{\mathbf{a}+t\mathbf{b}\mid t\in\mathbb{R}\}

kde a a b jsou vektory v Rn a b je nenulové. Vektor b udává směr přímky a a je bod na přímce. Tutéž přímku lze definovat pomocí různých kombinací a a b.

Rovinná přímka

V R2 je každá přímka L popsaná lineární rovnicí, která může být zadána v různých tvarech.

Směrnicová rovnice přímky

Ke směrnicové rovnici přímky. +more Směrnicová rovnice přímky má tvar : y=kx+q, kde k = \operatorname{tg}\varphi je tzv. směrnice přímky, přičemž \varphi je orientovaný úhel s vrcholem v průsečíku přímky a první souřadnicové osy, jehož rameny jsou (kladně orientovaná) první osa souřadnicové soustavy a přímka, a q je tzv. úsek (vytnutý přímkou) na ose y, což je druhá souřadnice průsečíku přímky s osou y.

Pro k>0 představuje rovnice přímky rostoucí funkci, pro k jde o funkci klesající. Pro k=0 je přímka rovnoběžná s osou x. +more Je-li q=0, pak přímka prochází počátkem O.

Přímku rovnoběžnou s osou y nelze směrnicovou rovnicí vyjádřit.

Úseková rovnice přímky

K úsekové rovnici přímky. +more Úseková rovnice přímky má tvar : \frac{x}{p}+\frac{y}{q} = 1, kde p\neq 0 je úsek (vytnutý přímkou) na ose x a q\neq 0 je úsek (vytnutý přímkou) na ose y.

Přímku rovnoběžnou s osou x nebo y nelze úsekovou rovnicí vyjádřit.

Normálová rovnice přímky

K normálové rovnici přímky. +more Normálovou rovnici přímky lze zapsat ve tvaru : x \cos\psi + y \sin\psi - n = 0, kde n\geq 0 představuje vzdálenost počátku soustavy souřadnic O od přímky a \psi je velikost orientovaného úhlu, jehož rameno je první kladná poloosa souřadné soustavy a druhé rameno je polopřímka s počátkem v O vedená kolmo k přímce.

Členy \cos\psi a \sin\psi představují složky jednotkového vektoru kolmého k přímce.

Obecná rovnice přímky

Obecná rovnice přímky v rovině je speciálním případem obecné rovnice nadroviny a má tvar : ax+by+c=0, kde a, b, c jsou konstanty, přičemž a\neq 0 nebo b\neq 0.

Pro a=0 je přímka rovnoběžná s osou x, pro b=0 je přímka rovnoběžná s osou y. Pro c=0 prochází přímka počátkem.

Porovnáním obecné a normálové rovnice lze určit význam konstant a, b, c. Konstanty a, b určují vektor \mathbf{n}, který je kolmý k přímce. +more Parametr c pak souvisí se vzdáleností přímky od počátku souřadné soustavy.

Obecnou rovnici přímky lze převést na rovnici směrnicovou, pokud zavedeme k=-\frac{a}{b}, q=-\frac{c}{b}, pro b\neq 0. Zavedeme-li p=-\frac{c}{a}, q=-\frac{c}{b}, pro a\neq 0, b\neq 0, c\neq 0, pak můžeme obecnou rovnici převést na úsekový tvar. +more Převedením obecné rovnice přímky do normálového tvaru získáme normálovou rovnici přímky ve tvaru : \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}\sgn{c}}x + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}\sgn{c}}y + \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}\sgn{c}} = 0.

Důležité vlastnosti takto definovaných přímek jsou jejich sklon, průsečík s osou x a průsečík s osou y. Excentricita přímky je nekonečno.

Parametrické vyjádření přímky

Parametrické vyjádření přímky je definováno vztahem: X = A + u. t a v rovině je tedy dáno rovnicemi : x = x_0 + a_1 t : y = y_0 + a_2 t kde A=[x_0,y_0] je libovolný bod přímky, a_1, a_2 jsou konstanty určující směrnici přímky, tedy vektor u = (a_1, a_2) je směrovým vektorem přímky a t\in (-\infty,\infty) je proměnný parametr. +more Alespoň jedna z konstant a_1, a_2 musí být nenulová.

Vektorová rovnice přímky

Vektorová rovnice přímky má tvar : \mathbf{r} = \mathbf{r}_0 + \mathbf{a} t kde \mathbf{r} je rádiusvektor procházející všemi body přímky, \mathbf{r}_0 je rádiusvektor jednoho z bodů přímky, \mathbf{a} je vektor určující směr přímky a t\in(-\infty,\infty) je proměnný parametr.

Vektorový zápis tedy představuje přehlednější zápis parametrického tvaru rovnice přímky.

Polární rovnice přímky

V polárních souřadnicích lze přímku vyjádřit jako : \rho = \frac{n}{\cos{(\psi-\varphi)}}, kde n je vzdálenost přímky od počátku O a \varphi je velikost orientovaného úhlu s vrcholem v počátku, jehož první rameno tvoří polární osa a druhé rameno polopřímka kolmá k přímce s počátkem v O.

Rovnice přímky určené bodem

Rovnice přímky se směrnicí k procházející bodem [x_0,y_0] je : y-y_0=k(x-x_0)

Rovnice přímky procházející dvěma danými body [x_1,y_1] a [x_2,y_2], kde x_1\neq x_2, má tvar : \frac{y-y_1}{x-x_1} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} neboli : y-y_1 = (x-x_1) \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} Předchozí rovnice bývá také vyjadřována ve formě determinantu : \begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{vmatrix} = 0 Tuto rovnici lze využít jako podmínku k určení, zda tři body [x_1,y_1], [x_2,y_2], [x_3,y_3] leží na jedné přímce. Tyto body leží na jedné přímce, je-li splněna podmínka : \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0

Prostorová přímka

Přímkou v prostoru se nazývá množina bodů prostoru, které vyhovují rovnici přímky. Rovnici přímky v prostoru lze vyjádřit různými způsoby.

Obecná rovnice přímky

V R3 lze přímku L definovat jako průsečík dvou rovin, pomocí soustavy jejich lineárních rovnic: : L=\{(x,y,z)\mid (a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1) \land (a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2)\} (definici je nutné rozšířit o podmínky pro koeficienty a_1 až d_2, které zaručí, že roviny budou různoběžné).

Přímka v prostoru je tedy řešením soustavy rovnic : a_1 x+b_1 y+c_1 z+d_1 = 0 : a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2 = 0

Ve speciálním případě vyjádříme přímku jako průsečík dvou rovin, z nichž každá je kolmá k některé souřadnicové rovině, např. pro roviny kolmé k xy a xz dostaneme : y=mx+q : z=nx+r

Parametrické rovnice přímky

Parametrické rovnice přímky v prostoru mají tvar : x = x_0 + ta : y = y_0 + tb : z = z_0 + tc kde [x_0,y_0,z_0] je libovolný bod, kterým přímka prochází, a, b, c jsou konstanty určující směrnici přímky a t\in(-\infty,\infty) je parametr.

Konstanty a, b, c mohou být vyjádřeny prostřednictvím směrových úhlů \alpha, \beta, \gamma jako : x = x_0 + t\cos\alpha : y = y_0 + t\cos\beta : z = z_0 + t\cos\gamma

Směrové úhly přitom splňují podmínku : \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1

Rovnice přímky určené bodem

Rovnici přímky procházející body [x_1,y_1,z_1], [x_2,y_2,z_2] lze zapsat jako : \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}

Rovnici přímky procházející bodem [x_1,y_1,z_1] se směrovými úhly \alpha, \beta, \gamma lze zapsat jako : \frac{x-x_1}{\cos\alpha} = \frac{y-y_1}{\cos\beta} = \frac{z-z_1}{\cos\gamma}

Pokud místo směrových úhlů určíme směrnici přímky parametry a, b, c, pak lze předchozí vztah přepsat jako : \frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}

Přímka ve vícerozměrném prostoru

Přímku lze zavést také v n-rozměrném prostoru.

Parametrické vyjádření

Přímku v Rn lze také vyjádřit parametricky: přímka procházející bodem A(a_1;a_2;. a_n) \, se směrovým vektorem v(v_1;v_2;. +more;v_n) \, je množina bodů L(x_1;x_2;. ;x_n) \,, pro které existuje skalár k takový, že : \left\{\begin{matrix} x_1 = a_1+kv_1 \\ x_2=a_2 + kv_2 \\ . \\ x_n = a_n+kv_n \end{matrix}\right.

Vektorový tvar

Místo předchozího parametrického vyjádření lze použít vektorový zápis : \mathbf{x} = \mathbf{a} + k\mathbf{v}

Vzájemná poloha bodu a přímky

Tři nebo více bodů, které leží na téže přímce, se nazývají kolineární.

Leží-li tři (různé) body na jedné přímce, pak vždy leží právě jeden z nich mezi ostatními dvěma. Leží-li bod B mezi body A a C, pak bod B označíme jako vnitřní bod úsečky AC.

Bod X ležící na přímce p ji dělí na dvě polopřímky. Je-li bod A vnitřním bodem jedné z polopřímek, pak pro tuto polopřímku užíváme značení \overrightarrow{X A}. +more Opačnou polopřímku k polopřímce \overrightarrow{X A} značíme \overleftarrow{X A}.

Vzájemná poloha přímek

Dvě různé přímky ležící v téže rovině mohou být buď rovnoběžné a nemít žádný společný bod (v eukleidovském prostoru se protínají v nekonečnu), nebo různoběžné a protnout se v právě jednom bodě, průsečíku. Dvě roviny se protínají v nejvýše v jedné přímce, průsečnici. +more Ve vícerozměrných prostorech ale nemusí ani být rovnoběžné, ani se protínat, a říká se jim mimoběžky.

Pokud jsou si obě přímky rovny, pak říkáme, že jde o přímky splývající (totožné).

Přímku různoběžnou s rovnoběžkami p, q označujeme jako příčku rovnoběžek p, q.

Průnik dvou polopřímek \overrightarrow{AB} a \overrightarrow{BA} se nazývá úsečkou a značí AB.

Některé důležité přímky

asymptota - přímka, ke které se limitně blíží daná křivka, zejména graf funkce, pro nezávisle proměnnou rostoucí nade všechny meze, * číselná osa - přímka s reálnými čísly přiřazenými každému jejímu bodu, užívaná např. jako souřadná osa, * osa rotace - přímka, kolem níž rotuje (otáčí se) dané těleso nebo vůči které provádíme matematické otáčení tělesa, * osa symetrie - přímka, ke které lze zrcadlově obrátit geometrický útvar a dostat tak útvar totožný, +moresvg|náhled|250px'>Eulerova přímka (červená) a osy stran (symetrály, zelené), těžnice (oranžové) a výšky (modré) v trojúhelníku * Eulerova přímka, * Simsonova přímka, * tečna - přímka dotýkající se křivky nebo plochy, prochází průběžným bodem (bodem dotyku) křivky (plochy) jednostranně, neprotíná ji v něm, * normála - kolmice k tečně v bodě dotyku křivky, laicky „kolmice ke křivce“, * kolmice - přímka pravoúhle skloněná k dané přímce nebo rovině, * těžnice - přímka procházející vrcholem trojúhelníku a středem protilehlé strany, půlící jeho plochu.

Odkazy

Literatura

Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, str. 8-9 * Šárka Voráčová a kolektiv: Atlas geometrie - Geometrie krásná a užitečná, Academia, Praha 2012, str. 12

Související články

Základní geometrické útvary * Lineární geometrické útvary * Vzájemná poloha přímky a kružnice * Výpočet průsečíku křivek

Externí odkazy

Kategorie:Geometrie Kategorie:Geometrické útvary Kategorie:Rovinné geometrické útvary Kategorie:Rovinné křivky