Kužel

Obecný kužel.

Rotační kužel (vlevo) a kosý kužel (vpravo).

Kužel je oblé těleso, které vznikne jako průnik #Kuželová plocha a prostor|kuželového prostoru a rovinné vrstvy.

Část kuželové plochy, která tvoří povrch kužele, se označuje jako plášť kužele. Řez kuželového prostoru hraniční rovinou vrstvy se nazývá podstava. +more Plášť kužele a podstava se nazývají společným názvem povrch kužele. Bod, ve kterém se rovinný řez kužele redukuje na bod, se označuje jako vrchol kužele. Kolmá vzdálenost mezi podstavou a vrcholem se nazývá výška kužele. Vzdálenost mezi vrcholem a podstavou podél pláště je strana kužele.

Je-li podstavou kužele kruh, pak se kužel nazývá kruhový. Pokud kolmice spuštěná z vrcholu na rovinu podstavy prochází středem podstavy kruhového kužele, pak jde o rotační kužel nebo kolmý kruhový kužel. +more Pokud kruhový kužel není kolmý, pak se označuje jako kosý.

Kuželová plocha a prostor

Kuželový prostor

Mějme jednoduchou uzavřenou křivku k, která leží v rovině. Body, které leží na přímkách procházejících libovolným bodem křivky k a bodem V ležícím mimo rovinu křivky k, tvoří kuželovou plochu. +more Část prostoru ohraničená kuželovou plochou se nazývá kuželový prostor.

Kuželová plocha je množina bodů v prostoru, která vznikne z kužele tím, že odstraníme podstavu a každou úsečku pláště (tj. spojnici vrcholu kužele s bodem hranice podstavy) prodloužíme na přímku. +more Nejlepší představa je taková, že se jedná o dva středově souměrné (podle vrcholu kužele) kornouty jdoucí do nekonečna.

Rovnice

Kuželová plocha (kvadratický kužel) s vrcholem v počátku, která v rovině z=c prochází elipsou \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (tzv. řídící křivka), má rovnici :\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0

Přímky, které tvoří povrch kužele, se nazývají tvořící přímky.

Tato plocha je asymptotickou plochou (asymptotickým kuželem) hyperboloidů :\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=\pm 1

Pro a=b jde o rotační kužel s osou rotace z.

Kuželovou plochu s vrcholem v bodě [x_0,y_0,z_0] je vždy možné vyjádřit rovnicí :F\left(\frac{x-x_0}{z-z_0},\frac{y-y_0}{z-z_0}\right)=0

Vlastnosti

Pro objem kužele platí :V = \frac{1}{3} \cdot S_p \cdot v, kde S_p je obsah podstavy a v je výška kužele.

Rotační kužel

Rotační kužel

Rotační kužel je rotační těleso vzniklé otáčením pravoúhlého trojúhelníku v prostoru okolo jedné z odvěsen. Otáčením druhé odvěsny vznikne kruhová podstava kužele (někdy také nazývaná jako základna kužele), otáčením přepony pak kuželová plocha nebo jinak plášť kužele. +more Tento plášť je v podstatě „stočená“ kruhová výseč, jejíž úhel závisí na poměru výšky kužele a poloměru podstavy. Společný vrchol přepony a osy otáčení nazýváme vrchol kužele.

Vlastnosti

Označíme-li r poloměr kruhové podstavy kužele a h výšku kužele (tj. vzdálenost vrcholu kužele od základny), pak lze vypočítat: * poloměr pláště (tj. +more vzdálenost vrcholu kužele od hraniční kružnice podstavy neboli délku strany pláště) pomocí Pythagorovy věty jako : s = \sqrt{r^2 + h^2} \,\. * objem kužele jako : V = \frac{\pi r^2 h}{3} \,\. .

* povrch kužele jako součet obsahu podstavy S_p = \pi r^2 \,\. a obsahu pláště S_{pl} = \pi r s \,\. +more : S = S_p + S_{pl} = \pi r (r + s) \,\. .

* Symetrické vlastnosti ** Kužel není středově souměrný. ** Kužel je osově souměrný podle spojnice vrcholu kužele se středem podstavy. +more ** Kužel je rovinově souměrný podle nekonečně mnoha rovin - rovinou souměrnosti je každá rovina, která v sobě obsahuje jeho osu (tj. vrchol a střed podstavy).

* V jistém smyslu je kužel „limitním případem“ posloupnosti pravidelných n-bokých jehlanů pro n jdoucí do nekonečna. To je ostatně vidět i ze vzorce pro objem, který je hodně podobný vzorci pro objem jehlanu.

Kuželosečky

Z geometrického pohledu jsou zajímavé řezy rotační kuželové plochy, tj. průniky této plochy s nějakou rovinou.

Singulární řezy kužele - pokud rovina řezu prochází vrcholem kužele, mohou nastat tři případy: * průnikem je bod (vrchol kužele), pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou * průnikem je přímka ležící na kuželové ploše, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou * průnikem jsou dvě přímky, které se protínají ve vrcholu kužele, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele)

Regulární řezy kužele - pokud rovina řezu neprochází vrcholem kužele, mohou nastat čtyři případy: * průnikem je kružnice, pokud je rovina řezu kolmá na osu kužele (obr. B dole) * průnikem je elipsa, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou, ale rovina řezu není kolmá na osu kužele (obr. +more B nahoře) * průnikem je parabola, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (obr. A) * průnikem je hyperbola, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele) (obr. C).

To je důvod, proč jsou elipsa, parabola a hyperbola nazývány souhrnně kuželosečkami.

Kuželosečky

Literatura

Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, str. 107-108 * Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, str. 122-123

Související články

Geometrický útvar * Kvadratická plocha * Oblá tělesa * Mnohostěn * Válec * Jehlan * Komolý kužel * Elipsa * Parabola (matematika) * Hyperbola

Externí odkazy

Kategorie:Oblá tělesa