Cesko.wiki Kuželosečka
Author
Albert FloresDruhy kuželoseček Kuželosečka je rovinná křivka, která vznikne jako průnik roviny s rotační kuželovou plochou, přičemž rovina neprochází jejím vrcholem.
Typy kuželoseček
Protínáme-li kužel rovinou kolmou na osu symetrie rotačního kuželu, výslednou kuželosečkou je kružnice.
Protínáme-li kužel rovinou rovnoběžnou právě s jednou z povrchových přímek pláště kuželu, výslednou kuželosečkou je parabola.
Protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou symetrie rotačního kuželu úhel menší než 90° a větší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželosečkou je elipsa. Rovina přitom protíná všechny povrchové přímky pláště kužele a není tedy s žádnou z nich rovnoběžná.
Protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou symetrie rotačního kuželu úhel menší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželosečkou je hyperbola; přitom rovina je rovnoběžná právě se dvěma povrchovými přímkami kuželu.
Degenerované kuželosečky
Za kuželosečku bývá často považován také průnik kuželové plochy s rovinou procházející vrcholem kuželové plochy. Takovéto kuželosečky označujeme jako degenerované (nevlastní, singulární), neboť podle polohy roviny a osy kuželové plochy dochází k redukci kuželosečky na bod, přímku nebo dvě přímky.
Kuželosečky, které nejsou degenerované, tzn. kružnici, elipsu, parabolu a hyperbolu, označujeme jako vlastní (regulární) kuželosečky.
Algebraické vyjádření
Každou kuželosečku lze vyjádřit rovnicí :a_{11} x^2 + 2 a_{12}xy + a_{22} y^2 + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0, kde koeficienty a_{ij} jsou reálná čísla, přičemž a_{ij}=a_{ji}. Tato rovnice je algebraickou rovnicí druhého stupně v x a y.
Invarianty
Při transformaci souřadnic se nemění některé charakteristické veličiny algebraické rovnice kuželosečky. Tyto veličiny se označují jako invarianty.
Uvedená rovnice má tři invarianty: * determinant kuželosečky :\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}
* determinant kvadratických členů :\delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}
* třetím invarientem je stopa malé matice :S = a_{11} + a_{22}
Při transformaci souřadnic se tedy mění koeficienty a_{ij}, avšak uvedené invarianty se nezmění.
Klasifikace kuželoseček podle invariantů
Invarianty rovnice kuželosečky lze použít ke klasifikaci jednotlivých křivek, které jsou touto rovnicí určeny.
Je-li \Delta\neq 0, pak se jedná o vlastní kuželosečku. Pro \Delta=0 jde o kuželosečku degenerovanou. +more Rovnicemi s \delta=0 jsou určeny tzv. nestředové kuželosečky (např. parabola). Pro \delta\neq 0 se jedná o kuželosečky středové (např. elipsa).
| Rozdělení kuželoseček | \delta\neq 0 středové kuželosečky | \delta=0 nestředové kuželosečky | |||
|---|---|---|---|---|---|
| \delta>0 | \delta | ||||
| \Delta\neq 0 vlastní kuželosečky | \Delta S reálná elipsa | hyperbola | parabola | parabola | parabola |
| \Delta\neq 0 vlastní kuželosečky | \Delta S > 0 imaginární elipsa | hyperbola | parabola | parabola | parabola |
| \Delta=0 nevlastní kuželosečky | dvojice nerovnoběžných (protínajících se) imaginárních přímek s reálným průsečíkem | dvě reálné různoběžky | a_{13}^2 - a_{11}a_{33} dvě různé reálné rovnoběžky | a_{13}^2 - a_{11}a_{33} = 0 dvě splývající rovnoběžky | a_{13}^2 - a_{11}a_{33} > 0 dvě imaginární rovnoběžky |
Středové rovnice kuželoseček
Kružnice: (x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2
* Elipsa: \frac{(x - m)^2}{a^2} + \frac{(y - n)^2}{b^2} = 1
* Parabola: (x - m)^2 = 2p(y - n)
* Hyperbola: \frac{(x - m)^2}{a^2} - \frac{(y - n)^2}{b^2} = 1
Výskyt a použití kuželoseček
Kuželosečky mají praktické uplatnění v architektuře, optice, radiotechnice, astronomii a dalších oborech. Vlnění vycházející libovolným směrem z jednoho ohniska elipsy (nebo rotační eliptické plochy) je odráženo do druhého ohniska; této skutečnosti se využívá při výrobě laserů a při vytváření tak zvaných šeptajících galerií, kdy slova šeptaná v jednom ohnisku klenby nebo zakřivené stěny jsou dobře slyšitelná pouze ve vzdáleném druhém ohnisku. +more Vlnění vycházející z ohniska paraboly je odráženo jako svazek rovnoběžných paprsků stejným směrem, čehož se využívá při výrobě světlometů, dalekohledů, parabolických antén a radioteleskopů. Pomocí parabolického zrcadla se zapaluje Olympijský oheň. Opominutí vlastností kuželoseček může vést k požárům, zraněním nebo poškozování věcí.
Řešením nejjednodušší úlohy nebeské mechaniky - pohybu hmotného bodu v gravitačním poli centrálního tělesa - jsou kuželosečky. V prvním přiblížení lze pohyb planet, asteroidů, komet a meziplanetárních sond okolo Slunce, stejně jako pohyb přirozených i umělých satelitů okolo planet popsat jako pohyb lehčího objektu po kuželosečce okolo hmotnějšího objektu, viz Keplerovy zákony.
Odkazy
Reference
Literatura
Šárka Voráčová a kolektiv: Atlas geometrie - Geometrie krásná a užitečná, Academia, Praha 2012, str. 112-113
Související články
Výstřednost kuželosečky * Geometrický útvar * Kvadrika
Externí odkazy
[url=http://dagles.klenot.cz/rihova/kuzelosecky.pdf]Kuželosečky (pdf)[/url]