Průnik

Technology

12 hours ago

Author

Průnik dvou množin ~A \cap B V matematice se jako průnik dvou nebo více množin označuje taková množina, která obsahuje pouze ty prvky, které se nalézají ve všech těchto množinách. Průnik množin A a B se označuje symbolem A ∩ B.

Formální definice

Pro všechna x platí, že x \in \left ( A \cap B \right ) \equiv \left ( x \in A \right ) \land \left (x \in B \right ) .

V případě, že se jedná o průnik více množin, je možno jej chápat jako několik postupných průniků (viz asociativita níže), nebo tak, že prvek je součástí průniku právě tehdy, je-li prvkem všech množin. Obě tyto možnosti jsou však ekvivalentní. +more Např. pro průnik tří množin platí, že x ∈ A ∩ B ∩ C iff x ∈ A a zároveň x ∈ B a zároveň x ∈ C. Průnik n množin A_1, A_2, . , A_n lze zkráceně psát.

A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n = \bigcap_{i=1}^n {A_i}

Příklad: Průnikem množin { 1, 2, 5, 6, 8, 11 } a { 2, 3, 4, 6, 8, 9 } je množina { 2, 6, 8 }. Průnikem množin všech prvočísel { 2, 3, 5, 7, 11, … } a množiny sudých kladných čísel { 2, 4, 6, 8, … } je jednoprvková množina { 2 } (jelikož 2 je jediné sudé prvočíslo).

Vlastnosti

Operace průniku dvou množin (jakožto binární operace) je asociativní, tzn. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). +more Současný průnik všech tří množin - A ∩ B ∩ C - je oběma těmto výrazům roven, proto je možno psát průnik libovolného množství množin bez použití závorek.

Průnik je komutativní operace, platí tedy, že A ∩ B = B ∩ A.

Neutrálním prvkem pro operaci průniku je univerzum, tzn. množina všech prvků, které v daném kontextu uvažujeme. +more Platí tedy A \cap I = A.

Výsledkem průniku množiny A s prázdnou množinou je opět prázdná množina, tzn. A \cap \emptyset = \emptyset.

Je-li výsledkem průniku dvou množin A,B prázdná množina, pak platí A \cap B = \emptyset \leftrightarrow B \subseteq -A, kde -A je doplňkem množiny A.

Vzhledem k definici průniku vyplývají všechny tyto skutečnosti z obdobných skutečností o logické spojce a zároveň.

Mohutnost průniku dvou množin je nejvýše rovna mohutnosti menší z nich: |A ∩ B| ≤ min { |A|, |B| }.

Průnik je idempotentní, tzn. platí A \cap A = A.