Cesko.wiki Sjednocení
Author
Albert FloresSjednocení dvou množin (A \cup B) V matematice se jako sjednocení dvou nebo více množin označuje taková množina, která obsahuje každý prvek, který se nachází alespoň v jedné ze sjednocovaných množin, a žádné další prvky. Sjednocení množin A a B se označuje symbolem A \cup B.
Formální definice
Pro všechna x platí, že x \isin A \cup B právě tehdy, když x \isin A nebo x \isin B. (Jedná se o matematické nebo, tzn. +more prvek patří do sjednocení i tehdy, nachází-li se v obou množinách. ).
V případě, že se jedná o sjednocení více množin, je možno je chápat jako několik postupných sjednocení (viz asociativita níže), nebo tak, že prvek je součástí sjednocení právě tehdy, je-li prvkem alespoň jedné z množin. Např. +more pro sjednocení tří množin platí, že x A \cup B \cup C právě tehdy, když x \isin A nebo x \isin B nebo x \isin C. Sjednocení n množin A_1, A_2, . , A_n lze zkráceně psát : A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n = \bigcup_{i=1}^{n} {A_i}.
Příklad: Sjednocením množin { 1, 2, 4, 8, 9 } a { 3, 4, 7, 9 } je množina { 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9 }. Sjednocením množiny všech prvočísel { 2, 3, 5, 7, 11, . +more } s množinou všech sudých kladných čísel { 2, 4, 6, … } je množina, jejímiž prvky jsou např. čísla 17, 18, 19, 20, ale nepatří do ní např. čísla 9, 15, 27, 63, 121.
V axiomatické teorii množin je sjednocení (také označované jako suma) libovolného (i nekonečného) počtu množin definováno následující konstrukcí vyplývající z axiomu sumy: : \bigcup A = \{ x : ( \exist y)( x \isin y \land y \isin A ) \}
Z této definice pak jako speciální případ dvouprvkové množiny A = \{ b,c \} vyplývá i klasické sjednocení dvou množin: : b \cup c = \bigcup A = \bigcup \{ b,c \} = \{ x : x \isin b \vee x \isin c \}
Vlastnosti
Operace sjednocení dvou množin (jakožto binární operace) je asociativní, tzn. (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C). +more Současné sjednocení všech množin - A \cup B \cup C - je oběma těmto výrazům rovno, proto je možno psát sjednocení libovolného množství množin bez použití závorek.
Sjednocení je komutativní operace, platí tedy, že A \cup B = B \cup A, sjednocované množiny je tedy možno psát v libovolném pořadí.
Neutrálním prvkem pro operaci sjednocení je prázdná množina, tzn. A \cup \emptyset = A. +more Prázdná množina se tak dá chápat jako výsledek sjednocení prázdné množiny množin.
Sjednocením s univerzální množinou získáme opět univerzální množinu, tzn. A \cup I = I.
Vzhledem k definici sjednocení vyplývají všechny tyto skutečnosti z obdobných skutečností o logické spojce nebo.
Mohutnost sjednocení dvou množin je přinejmenším rovna mohutnosti větší z obou množin, nejvýše pak součtu obou mohutností. Pro konečné množiny platí konkrétně: \left\vert A \cup B \right\vert = \left\vert A \right\vert + \left\vert B \right\vert - \left\vert A \cap B \right\vert.
Sjednocení množin je idempotentní, tzn. platí A \cup A = A.