Komutativita

Technology

12 hours ago

Author

Albert Flores

Komutativita je v matematice, zejména v algebře, vlastnost binární operace spočívající v tom, že u ní nezávisí na pořadí jejích operandů.

Definice

Budeme-li uvažovat grupoid S, potom binární operace \cdot definovaná na S se nazývá komutativní, jestliže platí

: x\cdot y=y\cdot x

pro všechna x,y\in S. Zároveň jestliže pro x,y\in S platí x\cdot y=y\cdot x, potom říkáme, že tyto dva prvky spolu komutují.

Je-li tato operace nad S zároveň asociativní, tj. S tvoří pologrupu, potom tuto operaci většinou nazýváme násobením, které značíme xy. +more Ve speciálním případě, kdy S vzhledem k této operaci tvoří komutativní grupu, tuto operaci nazýváme sčítáním.

Příklady komutativity

Nejznámější příklady komutativní binární operace jsou sčítání (značíme +) a násobení (značíme \cdot) přirozených čísel.

:2+3=3+2 (v obou případech je výsledek 5) :7 \cdot 3=3 \cdot 7 (v obou případech je výsledek 21)

Další ukázky komutativních binárních operací jsou například: sčítání a násobení komplexních čísel, průnik a sjednocení množin v potenční množině \mathcal{P}(X), operace maximum a minimum na uspořádaných množinách.

Mezi binární operace, které nejsou komutativní, patří například odčítání, dělení, umocňování, tj. a^b, nebo vektorové násobení, které je antikomutativní, tj. +more liší se pouze o znaménko.

Důležitým příkladem nekomutativního násobení je násobení matic nad prostorem komplexních čtvercových matic M^n(\mathbb{C}). Jako jednoduchý protipříklad se nabízí

\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}0 & -1\\1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1 \end{pmatrix}.

Tato vlastnost matic (a obecněji lineárních operátorů) je důležitá v kvantové fyzice, ve které jsou např. poloha a hybnost částice popsané nekomutujícími operátory a nelze je proto určit zároveň s libovolnou přesností (viz princip neurčitosti). +more Měření těchto veličin je nekomutativní, což znamená, že záleží na tom, zda měříme první polohu či hybnost.

S pojmem komutativity úzce souvisí tzv. komutátor, který definujeme nad libovolným okruhem R ve tvaru

: [x,y]=xy-yx.

Z definice komutátoru je zřejmé, že dva prvky spolu komutují, jestliže je jejich komutátor nulový, tudíž lze hrubě říci, že komutátor v určitém smyslu "měří" míru nekomutativity.

Komutátor je zajímavý především z toho důvodu, že libovolná asociativní algebra vzhledem ke komutátoru tvoří Lieovu algebru, přičemž každou Lieovu algebru L lze vnořit do nějaké asociativní algebry, s čímž souvisí univerzální obalová algebra U(L).