Parabola (matematika)

Technology

12 hours ago

Author

Parabola Parabola je druh kuželosečky, rovinné křivky druhého stupně. Parabola je množina těch bodů roviny, které jsou stejně vzdáleny od dané přímky (tzv. řídicí přímka nebo také direktrix) jako od daného bodu, který na ní neleží (tzv. ohnisko neboli fokus).

Vlastnosti, vyjádření

Parabola je pouze osově souměrná. Osa souměrnosti prochází ohniskem a je kolmá na řídicí přímku. +more Otáčením paraboly kolem její osy symetrie vznikne kvadratická rotační plocha, zvaná rotační paraboloid.

O parabole říkáme, že je v normální poloze, je-li její osa rovnoběžná s osou x nebo y.

Parabolu lze také definovat jako kuželosečku s výstředností rovnou jedné. Z toho vyplývá, že všechny paraboly jsou podobné, odtud také pramení název. +more Parabolu lze také chápat jako limitu posloupnosti elips, ve které je jedno ohnisko pevné a druhé ohnisko se postupně vzdaluje do nekonečna.

Matematická vyjádření

Implicitní vyjádření : \| XF \| = \| Xd \| \,\! Množina všech bodů X v rovině, které mají stejnou vzdálenost od ohniska F a od řídicí přímky d, která neprochází ohniskem F.

Kartézský souřadnicový systém

Standardní popis paraboly:

Parabola v kartezském souřadnicovém systému

V[m, n] - vrchol paraboly o souřadnicích m, n

F - ohnisko paraboly

d - řídicí přímka

o - osa paraboly

|DF| = p - velikost parametru, p > 0 \,\!

|DV| = |FV| = {p\over 2} \,\!

X[x, y] - libovolný bod náležící parabole

Polární souřadnicový systém

srdcovka Parabola s ohniskem v počátku souřadnicového systému s vrcholem na záporné poloose x má obecnou rovnici: : r (1 - \cos \varphi) = p \, kde p>0 je parametr paraboly.

Odtud je vidět, že parametr paraboly má také význam poloviny délky tzv. latus rectum, což je tětiva kuželosečky kolmá na hlavní osu v ohnisku F. +more U paraboly se tato hodnota rovná čtyřnásobku ohniskové vzdálenosti.

Z polární rovnice lze rovněž nahlédnout, že parabola vznikne též kruhovou inverzí srdcovky.

Parabola ve skutečném světě

Trajektorií tělesa pohybujícího se v homogenním gravitačním poli (např. v blízkosti zemského povrchu) je právě parabola. +more Při započítání vlivu odporu vzduchu se tělesa pohybují po balistické křivce, viz volný pád.

Po parabole se také pohybuje těleso v centrálním gravitačním poli, pokud je jeho rychlost přesně rovna únikové rychlosti a směr se nerovná směru tohoto pole. Například dráhy, po nichž se pohybují některé komety, jsou velmi blízké parabolám.

Pokud se paprsek přicházející do paraboly (či paraboloidu) rovnoběžně s osou symetrie odrazí od paraboly/paraboloidu, bude procházet ohniskem (a naopak, paprsek vydávaný zdrojem umístěným v ohnisku vychází z paraboly/paraboloidu vždy rovnoběžně s osou symetrie). To je důvod, proč se vyrábějí parabolická zrcadla a antény (např. +more v reflektorech automobilů, dalekohledech, satelitních anténách apod. ).