Cesko.wiki Limita
Author
Albert Floresnáhled Limita je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané funkce nebo posloupnosti blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se u funkcí zapisuje \lim_{x\rightarrow a} f(x)=A a u posloupností \lim_{n\to\infty} a_n=A.
Dle toho, zda se uvažuje o funkci nebo o posloupnosti, hovoříme o limitě funkce nebo limitě posloupnosti. Pojem limity lze definovat na reálných číslech, obecnější definice má smysl na libovolném metrickém prostoru a ještě obecnější definice na libovolném topologickém prostoru. +more Tam, kde má smysl více definic, jsou tyto definice ekvivalentní (například reálná čísla jsou metrickým i topologickým prostorem).
Limita funkce
Číslo A \in \R je limitou funkce f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} v bodě a \in \R, jestliže pro libovolné \varepsilon >0 existuje \delta > 0 takové, že pro každé x \in D_f takové, že 0 (x leží v prstencovém okolí bodu a) platí \left| f(x)-A \right|.
Limita posloupnosti
Číslo A \in \R je limitou posloupnosti \{a_n\}_{n=1}^\infty, jestliže pro libovolné \varepsilon > 0 existuje n_0 \in \N takové, že pro každé n \geq n_0 platí |a_n - A| .
Limita v metrickém prostoru
Prvek x metrického prostoru X s metrikou \rho je limitou posloupnosti jeho prvků \{x_n\}_{n=1}^\infty, právě když platí \lim_{n\rightarrow \infty} \rho(x_n,x)=0.
Limita v topologickém prostoru
Limita zobrazení f:A \to B mezi topologickými prostory A a B je v bodě a \in A definována jako b \in B takové, že pro každé okolí O(b) bodu b existuje okolí O(a) bodu a takové, že x \in O(a) implikuje f(x) \in O(b).
Dalším zobecněním limity posloupnosti, funkce i zobrazení jsou limity topologických sítí. Limita zobrazení nebo topologické sítě může být v obecném topologickém prostoru víceznačná. +more Platí však, že v Hausdorffově prostoru je tato limita jednoznačná, tj. každé zobrazení či topologická síť má nejvýše jednu limitu.
Nevlastní limita v nevlastním bodě
Pokud pro libovolné číslo \varepsilon>0 lze nalézt prvek posloupnosti, počínaje kterým jsou všechny hodnoty posloupnosti větší než \varepsilon, říkáme, že posloupnost roste nade všechny meze neboli že má nevlastní limitu +\infty. Obdobně se definuje nevlastní limita -\infty.
Pokud pro libovolné číslo \varepsilon>0 lze nalézt okolí bodu a, ve kterém má funkce hodnotu větší než \varepsilon, říkáme, že v okolí bodu a funkce roste nade všechny meze neboli že má nevlastní limitu +\infty. Obdobně se definuje nevlastní limita -\infty.
Limitou tedy může být nejen reálné číslo, ale i +\infty nebo -\infty (rozšířené reálné číslo).
Pokud se hodnoty limity neliší od čísla A o více než libovolné číslo \varepsilon>0, má funkce v nevlastním bodě +\infty vlastní limitu A. Pokud jsou hodnoty limity větší než libovolné číslo \varepsilon>0, má funkce v nevlastním bodě +\infty nevlastní limitu +\infty. +more Obdobným způsobem lze definovat limitu v nevlastním bodě -\infty.
V každém z nevlastních bodů +\infty nebo -\infty může mít funkce vlastní limitu, nevlastní limitu nebo limita nemusí existovat. Příkladem funkce, která nemá limitu v žádném z bodů +\infty nebo -\infty, je funkce sinus.
Příklady
Soubor:Sinc function (unnormalized). svg|Graf funkce \scriptstyle f(x) = \frac{\sin(x)}{x}. +more Je vidět, že tato funkce má limitu 1 v bodě nula. Soubor:Graph of function 1 to minus 1 in Neighbourhood of zero. svg|Graf funkce \scriptstyle f(x) = \frac{1}{x} . Je vidět, že tato funkce nemá limitu v bodě nula a má vlastní limity 0 v \scriptstyle \pm \infty. Soubor:1 to minus 2. svg|Graf funkce \scriptstyle f(x) = \frac{1}{x^2}. Je vidět, že tato funkce má nevlastní limitu \scriptstyle +\infty \,\. v bodě nula a má vlastní limity 0 v \scriptstyle \pm \infty.
* Funkce {\sin x}\over x \,\. není v nule definovaná, ale má v ní limitu 1 (vlastní limita ve vlastním bodě) a v +\infty \,\. +more má limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě). * Funkce {\sin {1\over x}} \,\. ani {\sin {1\over x}}\over x \,\. v nule limitu nemají. Totéž platí i o funkcích {1\over x}\,\. či {1\over x^3}\,\. , ovšem ty mají alespoň jednostranné limity: jejich pravostranná limita je +\infty \,\. a levostranná -\infty \,\. * Funkce {1\over x^2}\,\. a {1\over x^4}\,\. mají v nule limitu +\infty \,\. (nevlastní limita ve vlastním bodě). * Funkce {\sin x} \,\. má v nule limitu 0 a v +\infty \,\. limitu nemá. Obě tato tvrzení platí i o funkci {x \cdot \sin x} \,\. * Funkce e^x\,\. má v -\infty \,\. limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě) a v +\infty \,\. limitu +\infty \,\.