Limita

náhled Limita je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané posloupnosti nebo funkce blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se u funkcí zapisuje \lim_{z\rightarrow z_0} f(z)=a a u posloupností \lim_{n\to\infty} a_n=a případně a _n \to a\,.

Dle toho, zda se uvažuje o posloupnosti nebo o funkci, hovoříme o limitě posloupnosti nebo limitě funkce. Pojem limity lze definovat na reálných číslech, obecnější definice má smysl na libovolném metrickém prostoru a ještě obecnější definice na libovolném topologickém prostoru. +more Tam, kde má smysl více definic, jsou tyto definice ekvivalentní (například reálná čísla jsou metrickým i topologickým prostorem).

Limita posloupnosti

Posloupnost \left( a_n \right) _{n=1} ^\infty má limitu A, pokud se jejími hodnotami můžeme k A libovolně přiblížit. Tedy pro každé kladné číslo \varepsilon platí, že existuje nějaký člen posloupnosti, od kterého jsou už její hodnoty od A vzdáleny méně než \varepsilon.

Zapsáno symbolicky:

:\forall \varepsilon > 0: \exists n \in \mathbb{N} : \forall k \geq n : \left| a _k - A \right|

Příklad: Číslo 1 je limitou posloupnosti (0,9; 0,99; 0,999; 0,9999 …), kterou lze formálně zapsat jako {1-10−j}j.

Limita funkce

Říkáme, že funkce f(x) má v bodě a limitu A, jestliže k libovolnému \epsilon >0 existuje takové \delta > 0 , že pro všechna x z \delta-okolí bodu a, z něhož vyjmeme bod a (tzv. prstencová okolí bodu a) je \left| f(x)-A \right|.

Limita vzhledem k podmnožině

(Speciální případ: Pravostranná a levostranná limita)

Nevlastní limita

Pokud pro každé (libovolně velké) kladné číslo y lze nalézt prvek posloupnosti, počínaje kterým jsou všechny hodnoty posloupnosti větší než y, říkáme, že posloupnost roste nade všechny meze neboli že má nevlastní limitu +\infty \,\!. Obdobně se definuje nevlastní limita -\infty \,\!.

Pokud pro funkci v okolí bodu a platí, že pro každé (libovolně velké) kladné číslo y lze nalézt okolí bodu a, ve kterém má funkce hodnotu větší než y, říkáme, že funkce v okolí bodu a roste nade všechny meze neboli že má nevlastní limitu +\infty \,\. Nevlastní limita -\infty \,\. +more se definuje obdobně.

Limitou tedy může být nejen reálné číslo, ale i +\infty \,\! nebo -\infty \,\! (rozšířené reálné číslo).

Limita v nevlastním bodě

Stejně jako u posloupností lze zkoumat chování funkcí pro všechny hodnoty argumentu větší než zadané kladné číslo z. Pokud se hodnoty neliší od určitého čísla A o více než předem zadané \epsilon >0, má funkce v nevlastním bodě +\infty \,\. +more vlastní limitu A. Pokud jsou hodnoty větší než libovolné předem dané y, má funkce v nevlastním bodě +\infty \,\. nevlastní limitu +\infty \,\.

Obdobným způsobem lze definovat limitu v nevlastním bodě -\infty \,\!.

V každém z nevlastních bodů +\infty \,\. nebo -\infty \,\. +more může mít funkce vlastní limitu, nevlastní limitu nebo limita nemusí existovat. Příkladem funkce, která nemá limitu v žádném z bodů +\infty \,\. nebo -\infty \,\. , je funkce sinus.

Zobecnění pro topologické prostory

Limita zobrazení f: A\to B mezi topologickými prostory je v bodě a definována jako b\in B takové, že pro každé okolí O(b) bodu b existuje okolí O(a) bodu a takové, že x\in O(a) implikuje f(x)\in O(b).

Dalším zobecněním limity posloupnosti, funkce i zobrazení jsou limity sítí.

Limita zobrazení nebo sítě může být v obecném topologickém prostoru víceznačná. Platí však, že v Hausdorffově prostoru, je tato limita jednoznačná, t. +morej. každá síť má nejvýše jednu limitu.

Příklady

Soubor:Sinc function (unnormalized). svg|Graf funkce \scriptstyle f(x) = \frac{\sin(x)}{x}. +more Je vidět, že tato funkce má limitu 1 v bodě nula. Soubor:Graph of function 1 to minus 1 in Neighbourhood of zero. svg|Graf funkce \scriptstyle f(x) = \frac{1}{x} . Je vidět, že tato funkce nemá limitu v bodě nula a má vlastní limity 0 v \scriptstyle \pm \infty. Soubor:1 to minus 2. svg|Graf funkce \scriptstyle f(x) = \frac{1}{x^2}. Je vidět, že tato funkce má nevlastní limitu \scriptstyle +\infty \,\. v bodě nula a má vlastní limity 0 v \scriptstyle \pm \infty.

* Funkce {\sin x}\over x \,\. není v nule definovaná, ale má v ní limitu 1 (vlastní limita ve vlastním bodě) a v +\infty \,\. +more má limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě). * Funkce {\sin x} \,\. je v nule spojitá (limita je 0) a v +\infty \,\. limitu nemá. Obě tato tvrzení platí i o funkci {x \cdot \sin x} \,\. * Funkce {\sin {1\over x}} \,\. ani {\sin {1\over x}}\over x \,\. v nule limitu nemají. Totéž platí i o funkcích {1\over x}\,\. či {1\over x^3}\,\. , ovšem ty mají alespoň jednostranné limity: jejich pravostranná limita je +\infty \,\. a levostranná -\infty \,\. Naproti tomu funkce {1\over x^2}\,\. a {1\over x^4}\,\. mají v nule limitu +\infty \,\. (nevlastní limita ve vlastním bodě). * Funkce e^x\,\. má v -\infty \,\. limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě) a v +\infty \,\. limitu +\infty \,\.

Poznámky

Související články

Derivace * L'Hospitalovo pravidlo * Spojitá funkce * Konvergence * Divergence * Seznam základních limit

Reference

Externí odkazy

Kategorie:Vlastnosti matematických funkcí Kategorie:Matematické posloupnosti a řady