Cesko.wiki Limita posloupnosti
Author
Albert FloresLimita posloupnosti je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané nekonečné posloupnosti blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se zapisuje \lim_{n\to\infty} a_n=A.
Definice
Číslo A \in \R je limitou posloupnosti \{a_n\}_{n=1}^\infty, jestliže pro libovolné \varepsilon > 0 existuje n_0 \in \N takové, že pro každé n \geq n_0 platí |a_n - A| .
Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
Důkaz jednoznačnosti limity
Důkaz sporem: předpokládejme, že posloupnost \{a_n\}_{n=1}^\infty má dvě limity A a B, přičemž A \neq B, pak platí:
\forall \varepsilon > 0: \exists n_1 \in \mathbb{N} : \forall n \geq n_1 : \left| a_n - A \right|
a
\forall \varepsilon > 0: \exists n_2 \in \mathbb{N} : \forall n \geq n_2 : \left| a_n - B \right| .
Označme n_0 větší z čísel n_1 a n_2, pak pro všechna \varepsilon = {|A - B| / 2} a pro libovolné n > n_0 platí:
|A - a_n| a |B - a_n| .
Tedy vzdálenost a_n od bodu A i od bodu B je menší, než polovina vzdálenosti těchto dvou bodů, dostáváme tedy spor.
Konvergentní posloupnosti
Pokud k libovolnému číslu \varepsilon>0 existuje přirozené číslo n_0 takové, že pro všechna n>n_0 platí |a_n-A|, pak říkáme, že posloupnost \{a_n\}_{n=1}^\infty má vlastní limitu A, popř. že posloupnost konverguje k číslu A:
:\lim_{n \to \infty} a_n = A.
Pokud má posloupnost vlastní limitu, pak ji označujeme jako konvergentní. V opačném případě hovoříme o divergentní posloupnosti.
K ověření konvergence lze použít tzv. Bolzano-Cauchyovu podmínku, která říká, že existuje-li ke každému \varepsilon>0 takové přirozené číslo n_0, že pro libovolnou dvojici indexů m>n_0, n>n_0 platí |a_m-a_n|, pak je posloupnost \{a_n\}_{n=1}^\infty konvergentní. +more V úplných metrických prostorech se jedná o nutnou a postačující podmínku konvergence posloupnosti. Posloupnost splňující BC podmínku se také nazývá Cauchyovská posloupnost.
Bodová konvergence funkční posloupnosti
Pokud k libovolnému číslu \varepsilon>0 existuje přirozené číslo n_0 takové, že pro všechna n>n_0 platí |f_n(x_0)-f(x_0)|, pak říkáme, že funkční posloupnost \{f_n\}_{n=1}^\infty bodově konverguje v bodě x_0 k limitní funkci f:
:\lim_{n \to \infty} f_n(x_0)=f(x_0).
Pokud uvedená limita neexistuje, pak posloupnost \{f_n\}_{n=1}^\infty označíme jako bodově divergentní.
Stejnoměrná konvergence funkční posloupnosti
Pokud k libovolnému číslu \varepsilon>0 existuje přirozené číslo n_0 takové, že pro všechna n>n_0 a pro všechny body x \in \mathbf{I} platí |f_n(x)-f(x)|, pak říkáme, že funkční posloupnost \{f_n\}_{n=1}^\infty stejnoměrně konverguje na intervalu \mathbf{I} k limitní funkci f:
:\lim_{n \to \infty} f_n(x)=f(x).
Podle Bolzano-Cauchyovy podmínky je posloupnost \{f_n\}_{n=1}^\infty na intervalu \mathbf{I} stejnoměrně konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud lze ke každému \varepsilon>0 najít takové přirozené číslo n_0, že pro každou dvojici n>n_0, m>n_0 a každé x \in \mathbf{I} platí \left|f_n(x)-f_m(x)\right|.
Pokud jsou funkce f_n na intervalu \mathbf{I} spojité a posloupnost \{f_n\}_{n=1}^\infty je na \mathbf{I} stejnoměrně konvergentní, pak je na intervalu \mathbf{I} spojitá také limitní funkce f.
Vlastnosti konvergentní posloupnosti
Mějme dvě konvergentní posloupnosti (a_n), (b_n), pro které platí \lim_{n \to \infty}a_n=a, \lim_{n \to \infty} b_n=b. Pak následující posloupnosti jsou také konvergentní:
:\lim_{n \to \infty}(a_n \pm b_n)=a \pm b :\lim_{n \to \infty}k a_n = k a :\lim_{n \to \infty} \left|a_n\right| = \left|a\right| :\lim_{n \to \infty} a_n b_n = a b :\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b} \; \mbox{ pro } b\ne 0,
:kde z posloupnosti (b_n) jsou vynechány všechny nulové členy, kterých je konečný počet, neboť b \ne 0.
* Máme-li dvě konvergentní posloupnosti (a_n), (b_n), pro které platí \lim_{n \to \infty} a_n=a, \lim_{n \to \infty}b_n=b, pak jestliže pro každé n je a_n \leq b_n, pak je také a \leq b.
* Máme-li dvě konvergentní posloupnosti (a_n), (b_n), pro které platí \lim_{n \to \infty} a_n=a, \lim_{n \to \infty}b_n=a, pak jestliže existuje posloupnost (c_n) taková, že pro každé n je a_n \leq c_n \leq b_n, pak platí také \lim_{n \to \infty}c_n=a.
* Je-li (a_{k_n}) podposloupnost posloupnosti (a_n) a platí \lim_{n \to \infty} a_n=a, pak platí také \lim_{n \to \infty} a_{k_n}=a.
* Bolzano-Weierstrassova věta: Je-li \mathit(a_n) omezená posloupnost v \mathbb{R}, pak z ní lze vybrat posloupnost \mathit(a_{k_n}), která je konvergentní. Tato věta je založena na axiomu výběru, proto v některých logických systémech (např. +more intuicionistická logika) neplatí. Podle této věty má každá ohraničená posloupnost alespoň jeden hromadný bod. Pokud je těchto hromadných bodů více (i nekonečně mnoho), vždy existuje jeden nejmenší a jeden největší, tzv. limes superior a limes inferior dané posloupnosti, což zapisujeme:.
:\lim_{n \to \infty} \sup a_n \ \ a \ \ \lim_{n \to \infty} \inf a_n,
:kde posloupnost (a_n) je konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \sup a_n = \lim_{n \to \infty} \inf a_n = a, konvergentní posloupnost má tedy právě jeden hromadný bod.
Divergentní a oscilující posloupnosti
Říkáme, že posloupnost je * konvergentní, pokud má vlastní limitu, * divergentní, pokud má nevlastní limitu, * oscilující, pokud nemá vlastní ani nevlastní limitu.