Limita posloupnosti

Limita posloupnosti je matematická konstrukce, vyjadřující, že se hodnoty zadané posloupnosti blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se zapisuje \lim a_n=a případně a _n \to a\,.

Pojem limity posloupnosti lze definovat na libovolném metrickém prostoru.

Formální definice

Posloupnost \left( a_n \right) _{n=1} ^\infty má limitu A, pokud se jejími hodnotami můžeme k A libovolně přiblížit. Tedy pro každé kladné číslo \varepsilon platí, že existuje nějaký člen posloupnosti, od kterého jsou už její hodnoty od A vzdáleny méně, než \varepsilon.

Zapsáno symbolicky:

\forall \varepsilon > 0: \exists n \in \mathbb{N} : \forall k \geq n : \left| a _k - A \right|

Platí, že každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.

Důkaz jednoznačnosti limity

Budeme dokazovat sporem. Předpokládejme tedy, že nějaká posloupnost \left(a_i\right)_{i=1}^\infty má dvě limity: A a B, přičemž A \neq B.

Platí:

\forall \varepsilon > 0: \exists n_1 \in \mathbb{N} : \forall n \geq n_1 : \left| a_n - A \right|

a

\forall \varepsilon > 0: \exists n_2 \in \mathbb{N} : \forall n \geq n_2 : \left| a_n - B \right|

Označme n_0 větší z čísel n_1, n_2. Pak pro všechna epsilon, tedy i pro \epsilon = {|A - B| / 2} a pro nějaké k > n_0 platí:

|A - a_k| a |B - a_k|

Tedy vzdálenost a_k od bodu A i od bodu B je menší, než polovina vzdálenosti těchto dvou bodů, dostáváme tedy spor.

Konvergence posloupnosti

Pokud k libovolnému číslu \varepsilon>0 existuje přirozené číslo n_0 takové, že pro všechna n>n_0 platí |a_n-A|, pak říkáme, že posloupnost (a_n) má (vlastní, konečnou) limitu A, popř. že posloupnost konverguje k číslu A. +more Konvergenci posloupnosti k A zapisujeme :\lim_{n \to \infty} a_n = A.

Pokud má posloupnost vlastní limitu, pak ji označujeme jako konvergentní. V opačném případě hovoříme o divergentní posloupnosti.

K ověření konvergence lze použít tzv. Bolzano-Cauchyovu podmínku, která říká, že existuje-li ke každému \varepsilon>0 takové přirozené číslo n_0, že pro libovolnou dvojici indexů m>n_0, n>n_0 platí |a_m-a_n|, pak je posloupnost (a_n) konvergentní. +more V úplných metrických prostorech se jedná o nutnou a postačující podmínku konvergence posloupnosti. Posloupnost splňující BC podmínku se také nazývá Cauchyovská posloupnost.

Divergentní a oscilující posloupnosti

Říkáme, že posloupnost je * konvergentní, pokud má vlastní limitu * divergentní, pokud má nevlastní limitu +\infty, -\infty, je oscilující nebo nemá limitu * oscilující, pokud nemá vlastní ani nevlastní limitu.

Konvergence řady

Bodová a stejnoměrná konvergence

O funkční posloupnosti (f_n(x)) říkáme, že (bodově) konverguje k limitní funkci f(x), pokud pro každé x_0 \in \mathbf{I} existuje vlastní limita \lim_{n \to \infty} f_n(x_0)=f(x_0). Pokud uvedená limita neexistuje, pak posloupnost (f_n(x)) označíme jako divergentní.

Pokud lze pro libovolné \varepsilon>0 najít takové n_0, které je stejné pro všechny body x \in \mathbf{I}, a pro všechna n>n_0 a všechny body x \in \mathbf{I} platí :\left|f_n(x)-f(x)\right| pak posloupnost (f_n(x)) označíme jako stejnoměrně konvergentní.

Posloupnost je na daném intervalu stejnoměrně konvergentní, konverguje-li v každém bodě x přibližně stejně rychle.

Podle Bolzano-Cauchyovy podmínky je posloupnost (f_n(x)) na intervalu \mathbf{I} stejnoměrně konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud lze ke každému \varepsilon>0 najít takové přirozené číslo n_0, že pro každou dvojici n>n_0, m>n_0 a každé x \in \mathbf{I} platí :\left|f_n(x)-f_m(x)\right|

Pokud jsou funkce f_n(x) na intervalu \mathbf{I} spojité a posloupnost (f_n(x)) je na \mathbf{I} stejnoměrně konvergentní, pak je na intervalu \mathbf{I} spojitá také limitní funkce f(x).

Vlastnosti konvergentní posloupnosti

Mějme dvě konvergentní posloupnosti (a_n), (b_n), pro které platí \lim_{n \to \infty}a_n=a, \lim_{n \to \infty} b_n=b. Pak následující posloupnosti jsou také konvergentní. +more :\lim_{n \to \infty}(a_n \pm b_n)=a \pm b :\lim_{n \to \infty}k a_n = k a :\lim_{n \to \infty} \left|a_n\right| = \left|a\right| :\lim_{n \to \infty} a_n b_n = a b :\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b} \; \mbox{ pro } b\ne 0 Z posloupnosti (b_n) jsou vynechány všechny nulové členy, kterých je konečný počet, neboť b \ne 0.

Máme-li dvě konvergentní posloupnosti (a_n), (b_n), pro které platí \lim_{n \to \infty} a_n=a, \lim_{n \to \infty}b_n=b, pak jestliže pro každé n je a_n \leq b_n, pak je také a \leq b.

Máme-li dvě konvergentní posloupnosti (a_n), (b_n), pro které platí \lim_{n \to \infty} a_n=a, \lim_{n \to \infty}b_n=a, pak jestliže existuje posloupnost (c_n) taková, že pro každé n je a_n \leq c_n \leq b_n, pak platí také \lim_{n \to \infty}c_n=a.

Je-li (a_{k_n}) podposloupnost posloupnosti (a_n) a platí \lim_{n \to \infty} a_n=a, pak platí také \lim_{n \to \infty} a_{k_n}=a.

Platí Bolzano-Weierstrassova věta: Je-li \mathit(a_n) omezená posloupnost v \mathbb{R}, pak z ní lze vybrat posloupnost \mathit(a_{k_n}), která je konvergentní.

Tato věta je založena na axiomu výběru. Proto v některých logických systémech (např. intuicionistická logika) neplatí.

Podle Bolzano-Weierstrassovy věty má každá ohraničená posloupnost alespoň jeden hromadný bod. Pokud je těchto hromadných bodů více (i nekonečně mnoho), vždy existuje jeden nejmenší a jeden největší (tzv. +more limes superior a limes inferior dané posloupnosti), což zapisujeme :\lim_{n \to \infty} \sup a_n :\lim_{n \to \infty} \inf a_n.

Posloupnost (a_n) je konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \sup a_n = \lim_{n \to \infty} \inf a_n = a

Konvergentní posloupnost má tedy právě jeden hromadný bod.

Související články

Limita funkce * L'Hospitalovo pravidlo * Konvergence (matematika) * Divergence (matematika)

Externí odkazy

Kategorie:Matematické posloupnosti a řady Kategorie:Limity (matematika)