Limita funkce

náhled Limita funkce je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané funkce blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se zapisuje \lim_{x\rightarrow a} f(x)=A.

Hlavní motivací pro používání limit je možnost „opravit“ chování funkce. Pokud nelze hodnotu funkce v určitém bodě spočítat (např. +more kvůli dělení nulou), ale v jeho okolí se chová „rozumně“, funkci můžeme opravit tak, že její funkční hodnotu v problematickém bodě nahradíme limitou. Zda se funkce v okolí určitého bodu chová rozumně, lze poznat podle toho, že limita existuje.

Limita funkce je základní pojem v matematické analýze, v diferenciálním a integrálním počtu. Například definice spojitosti funkce používají limitu: funkce je spojitá, pokud se její funkční hodnota v každém bodě rovná její limitě v tomto bodě.

Definice

Definice podle Cauchyho

Funkce f zobrazuje prstencové okolí bodu a do okolí bodu A. +more Číslo A \in \R je limitou funkce f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} v bodě a \in \R, jestliže k libovolnému \varepsilon >0 existuje takové \delta > 0, že pro všechna x \in D_f taková, že \left| x-a \right| (x leží v prstencovém okolí bodu a) platí \left| f(x)-A \right|.

Limitu má smysl zkoumat jen v definičním oboru funkce neobsahujícím bod a, tj. libovolně blízko k bodu a musí být funkce definována.

Definice podle Heineho

Číslo A \in \R je limitou funkce f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} v hromadném bodě a definičním oboru funkce, jestliže pro každou posloupnost \{x_n\}_{n=1}^\infty, kde x_n \in D(f)-\{a\} a x_n \rightarrow a platí f(x_n) \rightarrow A.

Heineho a Cauchyova definice jsou ekvivalentní. Heineho se používá k výpočtu limit, Cauchyova častěji k důkazům.

Definice pomocí spojitosti

V definici spojitosti funkce obvykle figuruje limita. Přímým důsledkem takové definice je fakt, že v bodě, ve kterém je funkce spojitá, je limita rovna funkční hodnotě. +more Je však možné nadefinovat spojitost i nezávisle, například Cauchyho definice spojitosti. Potom je možné limitu zavést tak, že platí \lim_{x\to a} f(x) = Aprávě tehdy, když je funkce g(x) definovaná předpisemg(x)= \begin{cases} A& x=a\\ f(x)& \text {jinak}\end{cases}spojitá v bodě a. Tato definice nejlépe vystihuje hlavní motivaci pro pojem limita funkce (možnost „opravit“ chování funkce, viz úvod).

Limita zprava a zleva

Limity x → x0+ ≠ x → x0−. +more Proto limita pro x → x0 neexistuje. Funkce f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} má v bodě a jednostrannou limitu A zleva resp. zprava, jestliže k libovolnému číslu \varepsilon>0 existuje číslo \delta>0 takové, že pro všechna x \in D_f-\{a\} splňující podmínku x \in (a - \delta, a) resp. x \in (a, a + \delta), tj. pro všechna x z levého resp. pravého okolí bodu a, platí |f(x)-A|, tj. :.

:\lim_{x \to a-} f(x)=A \; - limita zleva :\lim_{x \to a+} f(x)=A \; - limita zprava

Funkce f(x) má v bodě a limitu právě tehdy, pokud má v tomto bodě současně limitu zleva i zprava a tyto limity se rovnají, např. funkce f(x) = \frac{1}{x} nemá v bodě nula limitu, ačkoliv má obě jednostranné limity:

:\lim_{x \to 0-} \frac{1}{x} = -\infty :\lim_{x \to 0+} \frac{1}{x} = \infty

Limita funkce více proměnných

Funkce n-proměnných f:\mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R} má v bodě A=[a_1,a_2,. ,a_n] limitu B, jestliže k libovolnému číslu \varepsilon>0 existuje číslo \delta>0 takové, že pro všechny body X=[x_1,x_2,. +more,x_n] z \delta-okolí bodu A s výjimkou samotného bodu A platí |f(X)-B|. Takovou limitu značíme některým z následujících způsobů:.

* \lim_{X \to A} f(X)=B * \lim_{[x_1,x_2,. ,x_n] \to A} f(X)=B * \lim_{[x_1,x_2,. +more,x_n] \to [a_1,a_2,. ,a_n]} f(X)=B * \lim_{\begin{matrix} x_1 \to a_1 \\ x_2 \to a_2 \\ \vdots \\ x_n \to a_n \end{matrix} } f(X)=B.

U funkce n-proměnných je možné provádět limitní přechod nejen vůči všem proměnným, ale také vzhledem k pouze několika proměnným, např. \lim_{x_1 \to a_1} f(x_1,x_2,. +more,x_n) = g(x_2,x_3,. ,x_n), kde g je funkcí n-1 proměnných.

Limita komplexní funkce

Komplexní funkce f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} definovaná v okolí bodu z_0 má v bodě z_0 limitu A, jestliže k libovolnému \varepsilon > 0 existuje \delta-okolí bodu z_0 takové, že :| f(z) - A | .

Limitu v bodě z_0 zapisujeme: :\lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = A, kde limita A může být komplexním číslem.

Nevlastní limita v nevlastním bodě

Pro limitu funkce f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} rozlišujeme: vlastní limita v vlastním bodě, nevlastní limita v vlastním bodě, vlastní limita v nevlastním bodě a nevlastní limita v nevlastním bodě:

* Limitu funkce \lim_{x \to a}f(x)=A\in\R nazýváme vlastní limitou funkce f ve vlastním bodě a\in\R. * Limitu funkce \lim_{x \to a}f(x)=\pm\infty nazýváme nevlastní limitou funkce f ve vlastním bodě a\in\R. +more * Limitu funkce \lim_{x \to \pm\infty}f(x)=A\in\R nazýváme vlastní limitou funkce f v nevlastním bodě. * Limitu funkce \lim_{x \to \pm\infty}f(x)=\pm\infty nazýváme nevlastní limitou funkce f v nevlastním bodě.

Nevlastní limitu ve vlastním bodě lze definovat také zprava nebo zleva, bereme-li pouze pravé nebo levé okolí bodu a.

Příklady

Příklad vlastní limity ve vlastním bodě: : \lim_{x \to 3 } 2x = 6

Příklad nevlastní limity ve vlastním bodě: : \lim_{x \to 0 } \frac{1}{x^2} = \infty

Příklad vlastní limity v nevlastním bodě: : \lim_{x \to - \infty } 2^x = 0

Příklad nevlastní limity v nevlastním bodě: : \lim_{x \to \infty } 2^x = \infty

Vlastnosti

Mějme funkci f, která má v bodě a limitu A a funkci g, která má ve stejném bodě limitu B, pak pro libovolné číslo c platí následující vztahy: ** \lim_{x \to a} c f(x) = cA ** \lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B ** \lim_{x \to a} f(x)g(x) = AB ** \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}, pokud B\neq 0

* Mějme funkci f, která má v bodě a limitu A, tedy \lim_{x \to a} f(x)=A, a funkci g, která má v bodě A limitu B, tedy \lim_{y \to A} g(y)=B. Pokud existuje takové \delta>0, že pro všechna x splňující podmínku 0 platí f(x) \ne A, pak: :\lim_{x \to a} g(f(x)) = B

* Máme-li funkce f a g, pro něž v okolí bodu a platí f(x) \leq g(x), pak v případě, že obě funkce mají v bodě a limitu, bude platit: :\lim_{x \to a} f(x) \leq \lim_{x \to a} g(x)

* Máme-li funkce f,g,h, pro něž v okolí bodu a platí f(x) \leq h(x) \leq g(x) a existují-li limity \lim_{x \to a} f(x)=A a \lim_{x \to a} g(x)=A, pak existuje také limita: :\lim_{x \to a} h(x)=A

Příklad funkce bez limity

Příklad funkce bez limity v bodě x=1 Funkce :f(x)=\begin{cases}\sin\frac{5}{x-1} & \mbox{ pro } x1\end{cases} nemá limitu v bodě x_0 = 1.

Související články

Limita * Limita posloupnosti * Seznam základních limit * L'Hospitalovo pravidlo * Spojitá funkce * Okolí (matematika)

Externí odkazy

Kategorie:Limity (matematika) Kategorie:Vlastnosti matematických funkcí