Cesko.wiki Definiční obor
Author
Albert FloresFunkce f zobrazuje množinu X do množiny Y. Definiční obor značen červeně, obor hodnot žlutě.
Definiční obor zobrazení T: X \to Y z množiny X do množiny Y tvoří právě ty prvky množiny X, pro něž je definován obraz v množině Y. Obecně nemusí být zobrazení T definováno na celé množině X, v tom případě tvoří jeho definiční obor podmnožinu množiny X. +more Definiční obor funkce f je množina všech hodnot, pro které je funkce f definována.
Definice
V matematické notaci lze definiční obor pro zobrazení T: X \to Y zapsat následovně:
: D_T = \{ x \in X| (\exists y \in Y)(T(x) = y)\}.
Definiční obor zobrazení T resp. funkce f se značí D_T=D(T) resp. +more D_f=D(f). Pro definiční obor se v zahraniční literatuře používá označení doména, pro obor hodnot pak označení kodoména.
Omezení definičního oboru
Každou funkci (resp. obecněji zobrazení) je možno omezit na libovolnou podmnožinu jejího definičního oboru. +more Tedy máme-li funkci f: X \to Y a platí-li A \subseteq X, můžeme omezit funkci f na množinu A, což značíme:.
:f|_A : A \rightarrow Y.
Takto upravená funkce pak působí na prvky z množiny A stejným způsobem jako předtím na všechny prvky z množiny X. Jediným rozdílem je, že už má smysl hovořit o jejích hodnotách jen na prvcích z množiny A. +more Pro funkci f se f_A nazývá zúžení (restrikce) f na množinu A.
Příklad
Definiční obor mohou kromě čísel tvořit také např. funkce. +more Uvažujme množinu \mathcal{C} reálných funkcí reálné proměnné, tj. funkcí f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} a operátor derivace \text{Der}: \mathcal{C} \to \mathcal{C}, který vezme funkci a vrátí její derivaci, tj. opět nějakou funkci, pak definiční obor operátoru derivace \text{Der} tvoří ty funkce z \mathcal{C}, pro něž existuje jejich derivace. Tento příklad ukazuje zobrazení, které není definováno na celé „vstupní“ množině, protože ne všechny funkce mají derivaci. * Uvažujme topologický prostor X a na něm definované zobrazení T zobrazující do množiny Y. O zobrazení T řekneme, že je hustě definované, právě když je jeho definiční obor hustou podmnožinou topologického prostoru X, tj. \overline{(D_T)} = X, kde pruh nad množinou značí uzávěr této množiny.