Cesko.wiki Komplexní analýza
Author
Albert FloresKomplexní analýza je obor matematické analýzy, který zkoumá funkce komplexních čísel. Je užitečná v mnoha odvětvích matematiky, včetně oborů jako algebraická geometrie, teorie čísel, aplikovaná matematika; ale i ve fyzice, např. v oborech jako hydrodynamika, termodynamika, mechanické inženýrství a elektrotechnika.
Komplexní analýza se nejvíc zabývá analytickými funkcemi komplexních proměnných (nebo obecněji meromorfními funkcemi). Protože reálná i imaginární část každé analytické funkce musí splňovat Laplaceovu rovnici, komplexní analýza je široce aplikovatelná na dvoudimenzionální problémy ve fyzice.
Murray R. Spiegel napsal, že komplexní analýza je „jedním z nejhezčích a nejužitečnějších oborů matematiky“.
Historie
Mandelbrotova množina, fraktál. +more Komplexní analýza má kořeny v 19. století i dříve. Zabývali se jí známí matematici jako Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass a mnoho dalších v 20. století. Komplexní analýza, zejména teorie konformních zobrazení, má mnoho fyzikálních aplikací a používá se i v analytické teorii čísel. V současnosti se stala velmi populární díky novým podnětům z komplexní dynamiky a díky obrázkům fraktálů produkovaných iterací holomorfních funkcí. Další důležitá aplikace komplexní analýzy je v teorii strun, která studuje konformní invarianty v kvantové teorii pole.
Komplexní funkce
Komplexní funkce je funkce, kde nezávislá proměnná i závislá proměnná jsou obě komplexní čísla. Přesněji, komplexní funkce je funkce, u které definiční obor i obor hodnot jsou podmnožiny komplexní roviny.
Pro každou komplexní funkci lze nezávisle proměnnou i závisle proměnnou separovat na reálnou a imaginární část:
: z = x + iy \ tj. w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y) kde x,y \in \mathbb{R} a i = \sqrt{-1} je imaginární jednotka.
Složky funkce f(z):
: u = u(x,y) \ a \ v = v(x,y)
lze interpretovat jako reálné funkce dvou reálných proměnných x a y.
Základní koncepty komplexní analýzy se často představují rozšířením elementárních funkcí reálné proměnné (např. exponenciální funkce, logaritmická funkce a trigonometrická funkce) do komplexní domény.
Komplexní exponenciála
Komplexní exponenciála Komplexní exponenciálu komplexní proměnné můžeme zavést pomocí komplexní funkce z jedné reálné proměnné y: :z = \cos y + i\sin y \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \frac{\text{dz}}{\text{dy}} = - \sin y + i\cos y = i\left( \cos y + i\sin y \right) = iz \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ :\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \frac{\text{dz}}{z} = i\text{dy}\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \int_{}^{}{\frac{1}{z}\text{dz}} = i\int_{}^{}\text{dy}\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ln z = iy \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ z = e^{iy}
následujícím způsobem:
:e^{x + iy} = e^{x}e^{iy} = e^{x}\left( \cos y + i\sin y \right) = e^{x}\cos y + ie^{x}\sin y = u\left( x,y \right) + iv\left( x,y \right),
pro jejíž derivaci platí:
:\left| \begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} e^{x}\cos y & - e^{x}\sin y \\ e^{x}\sin y & e^{x}\cos y \\ \end{matrix} \right| = \left( e^{x}\cos y \right)^{2} + \left( e^{x}\sin y \right)^{2} = \left| e^{x + \text{iy}} \right|^{2}
Holomorfní funkce
Holomorfní funkce jsou komplexní funkce definované na otevřené podmnožině komplexní roviny, které jsou diferencovatelné. Komplexní diferencovatelnost má mnohem větší důsledky než obvyklá (reálná) diferencovatelnost.