Cesko.wiki Exponenciální funkce
Author
Albert FloresGraf exponenciální funkce o základu e na intervalu (-5;5) Exponenciální funkce je matematická funkce ve tvaru :y = f(x) = a^x, kde a je kladné číslo různé od 1, které se nazývá základ. Číslu x se říká exponent, grafem je exponenciála.
Definičním oborem exponenciální funkce jsou všechna reálná, resp. všechna komplexní čísla (a lze ji rozšířit i na složitější objekty, zejména lineární operátory).
Inverzní funkcí k exponenciále je logaritmus o stejném základu: :\log_{a} a^x = x.
Derivací exponenciály je tato exponenciála vynásobená přirozeným logaritmem základu: : (a^x)' = \ln a \cdot a^x.
Protože přirozený logaritmus Eulerova čísla e je rovný jedné, používá se toto číslo často jako základ exponenciální funkce. Derivace exponenciální funkce s tímto základem
:y = f(x) = e^x = \exp x
je rovna opět exponenciální funkci o stejném základu e. To přináší usnadnění při práci s výrazy obsahujícími exponenciálu. +more Proto se často pod označením exponenciální funkce automaticky myslí exponenciála se základem e a exponenciály s obecným základem se převádějí na tento základ pomocí vzorce a^x = \exp(x\cdot\ln a) . Alternativní notace \exp x se používá, aby se exponent mohl zapsat na jeden řádek se zbytkem výrazu.
Formální definice
Exponenciální funkce (modrá) a součet prvních mocnin výrazů vlevo (červená) Exponenciální funkce může být charakterizována různými ekvivalentními způsoby. +more Zejména může být definována následující mocninnou řadou: :e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n. } = 1 + x + {x^2 \over 2. } + {x^3 \over 3. } + {x^4 \over 4. } + \cdots Méně často je definováno jako řešení rovnice :x = \int_1^y {1 \over t} \mathrm{d}t. Lze ji definovat také následující limitou: :e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n.
Vlastnosti exponenciální funkce
Pro každou exponenciální funkci y = a^x (a>0) platí: * je zdola omezená * je prostá * je spojitá v každém bodě, ale není stejnoměrně spojitá na celém \mathbb{R} * pro a > 1 je rostoucí, pro a ∈ (0; 1) klesající * a^0 = 1 (tedy graf exponenciální funkce prochází bodem [0;1]) * a^{(x+y)} = a^x \cdot a^y, ve speciálním případě \exp (x+y)=(\exp x) \cdot (\exp y).
Exponenciála o základu e
Často používaný základ exponenciální funkce je Eulerovo číslo e. Funkce f(x)=e^x je až na násobek jediné řešení diferenciální rovnice :y'=y\cdot
Funkce e^x se obvykle definuje mocninnou řadou :e^x=\sum_{j=0}^\infty\frac{x^j}{j. }, která konverguje pro každé reálné i komplexní x. +more Obecná exponenciální funkce se pak dá definovat jako :a^x=e^{x \ln\, a}, kde \ln\, a je přirozený logaritmus čísla a.
Dosazením čistě imaginárního čísla ix do definice exponenciály dostáváme vztah e^{ix}= \cos x+ i \sin x.
Derivace a diferenciální rovnice
Derivace exponenciální funkce je rovna hodnotě funkce. +more Tečna (červená) vedená libovolným bodem P grafu funkce (modrá) tvoří s kolmicí o velikosti h (zelená) pravoúhlý trojúhelník o základně b na ose x. Vzhledem k tomu, že sklon červené tečny (derivace) v bodě P se rovná poměru výšky trojúhelníku k základně trojúhelníku a derivace je rovna hodnotě funkce, musí se h rovnat poměru h a b. Proto musí být základna b vždy rovna 1 Důležitost exponenciální funkce v matematice a přírodních vědách pramení hlavně z vlastností její derivace, zejména: :\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x = e^x Důkaz: :\begin{align} e ^ x & = 1 + x + \frac{x ^ 2}{2. } + \frac{x ^ 3}{3. } + \frac{x ^ 4}{4. } + \frac{x ^ 5}{5. } + \cdots \\ {\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} e^x & = {\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \left(1 + x + \frac{x ^ 2}{2. } + \frac{x ^ 3}{3. } + \frac{x ^ 4}{4. } + \frac{x ^ 5}{5. } + \cdots \right) \\ & = 0 + 1 + \frac{2x}{2. } + \frac{3x ^ 2}{3. } + \frac{4x ^ 3}{4. } + \frac{5x ^ 4}{5. } +\cdots \\ & = 1 + x + \frac{x ^ 2}{2. } + \frac{x ^ 3}{3. } + \frac{x ^ 4}{4. } + \frac{x ^ 5}{5. } + \cdots \\ & = e ^ x \\ \end{align}.
To znamená, že je svou vlastní derivací a tedy je jednoduchým příkladem pfaffovské funkce. Funkce tvaru (kde je konstanta) jsou jediné funkce s touto vlastností (podle Picardovy-Lindelöfovy věty).
Tato vlastnost se dá vyjádřit i následujícími způsoby: * Sklon grafu v libovolném bodě je hodnota funkce v tomto bodě. * Tempo růstu funkce je stejné jako hodnota funkce v bodě . +more * Funkce řeší diferenciální rovnici . * je pevný bod derivace. Krom toho u diferencovatelné funkce používáme řetízkové pravidlo: :{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)}.
Vztah logaritmické a exponenciální funkce
Exponenciální a logaritmická funkce jsou navzájem inverzní, tedy platí: :f: y = a^x , f^{-1}: y = log_{a}x. Grafy těchto funkcí jsou osově souměrné podle přímky y = x.
Řetězové zlomky pro \exp x
Řetězový zlomek pro lze získat prostřednictvím Eulerovy rovnosti: : e^x = 1 + \cfrac{x}{1 - \cfrac{x}{x + 2 - \cfrac{2x}{x + 3 - \cfrac{3x}{x + 4 - \ddots}}}} Následující celkový řetězový zlomek pro konverguje mnohem rychleji: : e^z = 1 + \cfrac{2z}{2 - z + \cfrac{z^2}{6 + \cfrac{z^2}{10 + \cfrac{z^2}{14 + \ddots}}}} nebo použitím substituce z=\left ( \frac{x}{y} \right ): : e^\frac{x}{y} = 1 + \cfrac{2x}{2y - x + \cfrac{x^2} {6y + \cfrac{x^2} {10y + \cfrac{x^2} {14y + \ddots}}}} zvláštní případ pro : : e^2 = 1 + \cfrac{4}{0 + \cfrac{2^2}{6 + \cfrac{2^2}{10 + \cfrac{2^2}{14 + \ddots\,}}}} = 7 + \cfrac{2}{5 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{9 + \cfrac{1}{11 + \ddots\,}}}} Tento vzorec také konverguje, ale pomaleji, protože . Například: : e^3 = 1 + \cfrac{6}{-1 + \cfrac{3^2}{6 + \cfrac{3^2}{10 + \cfrac{3^2}{14 + \ddots\,}}}} = 13 + \cfrac{54}{7 + \cfrac{9}{14 + \cfrac{9}{18 + \cfrac{9}{22 + \ddots\,}}}}
Komplexní rovina
Exponenciální funkce na komplexní rovině. +more Přechod ze tmavých do světlých barev ukazuje, že velikost exponenciální funkce se zvětšuje na pravé straně. Periodické vodorovné pruhy naznačují, že exponenciální funkce je periodická v imaginární části svých argumentů Stejně jako v reálném případě, exponenciální funkce může být definována na komplexní rovině několika ekvivalentními formami. Jedna taková definice je ekvivalentní definicí mocninnou řadou, kde je reálná proměnná nahrazena komplexní: :e^z = \sum_{n = 0}^\infty\frac{z^n}{n. } Exponenciální funkce je periodická s imaginární periodou a může být psána jako :e^{a + bi} = e^a (\cos b + i \sin b) = e^a \operatorname{cis}(b), kde a a b jsou reálné hodnoty a kde na pravé straně se vyskytují reálné funkce, pokud je tento předpis použit jako definice (Eulerův vzorec). Tento vzorec propojuje exponenciální funkci s goniometrickými a hyperbolickými funkcemi.
Uvažujeme-li funkci definovanou na komplexní rovině, pak exponenciální funkce zachovává tyto vlastnosti: * e^{z + w} = e^z e^w\, *e^0 = 1\, *e^z \ne 0 * \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} e^z = e^z * \left(e^z\right)^n = e^{nz}, n \in \mathbb{Z} pro všechny a .
Exponenciální funkce je celá funkce neboť je holomorfní na celé komplexní rovině. Každé komplexní číslo kromě 0 má při exponenciální funkci svůj vzor; to znamená, že 0 je lacunární hodnota exponenciální funkce. +more Ilustruje tedy malou Picardovu větu, že jakákoli nekonstantní celá funkce má ve svém obrazu až na jeden bod celou komplexní rovinu.
Rozšířením přirozeného logaritmu do komplexních čísel získáme komplexní logaritmus , což je vícehodnotová funkce.
Pak můžeme definovat obecnou mocninu: :z^w = e^{w \log z} pro všechna komplexní čísla a . To je také vícehodnotová funkce, a to i když je reálné. +more Tento fakt je poněkud problematický, neboť vícehodnotové funkce a lze lehce zaměnit s jejich jednohodnotovými ekvivalenty dosazením reálného čísla za . Pravidlo o násobení exponentů v případě pozitivních reálných čísel musí být upraveno pro vícehodnotový kontext: :, ale spíše vícehodnotový po celých číslech . Exponenciální funkce zobrazuje každou přímku v komplexní rovině na logaritmické spirály v komplexní rovině se středem v počátku. Existují dva zvláštní případy: když původní přímka je rovnoběžná s reálnou osou, výsledná spirála se nikdy neuzavírá do sebe; a když původní přímka je rovnoběžná s imaginární osou, výsledná spirála je kruh o nějakém poloměru.
ExponentialAbs_real_SVG.svg| ExponentialAbs_image_SVG.svg|