Eulerův vzorec

Technology

12 hours ago

Author

Eulerův vzorec pro libovolný úhel. Eulerův vzorec určuje vztah mezi goniometrickými funkcemi a exponenciální funkcí: :e^{i \varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi \,\!

Na Eulerův vzorec je zvykem nahlížet jako na větu komplexní analýzy.

Význam vzorce

Eulerův vzorec umožňuje definovat mocnění komplexním číslem a protože exponenciální funkce je inverzní funkcí k logaritmu, umožňuje definovat i logaritmy komplexních čísel.

Důkaz

Taylorův rozvoj exponenciální funkce reálné proměnné je:

:e^{x} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {\frac{x^{n}}{n!}} \; \mbox{ pro } x \in (-\infty,\infty)

Její definiční obor lze holomorfním prodloužením rozšířit na obor komplexních čísel (x = a + ib, kde i je imaginární jednotka). Pro další odvození stačí uvažovat, že x je ryze imaginární číslo (x = ib); dosazením do Taylova rozvoje dostaneme:

:e^{ib} = \frac{{(ib)}^0}{0. } + \frac{{(ib)}^1}{1. +more} + \frac{{(ib)}^2}{2. } + \frac{{(ib)}^3}{3. } + \cdots = \frac{i^0b^0}{0. } + \frac{i^1b^1}{1. } + \frac{i^2b^2}{2. } + \frac{i^3b^3}{3. } + \cdots = \frac{b^0}{0. } + \frac{ib^1}{1. } + \frac{i^2b^2}{2. } + \frac{i. i^2b^3}{3. } + \cdots.

Využijeme toho, že i2 = -1:

:e^{ib} = \frac{b^0}{0!} + \frac{ib^1}{1!} + \frac{(-1)b^2}{2!} + \frac{i(-1)b^3}{3!} + \cdots

Přerovnáme členy a vytkneme imaginární jednotku i z členů, které ji obsahují:

:e^{ib} = \left(\frac{b^0}{0!} - \frac{b^2}{2!} + \cdots \right) + i\left(\frac{b^1}{1!} - \frac{b^3}{3!} + \cdots\right)

Uzávorkované části jsou Taylorovy rozvoje funkcí kosinus a sinus reálné proměnné b:

:\cos b = \frac{b^0}{0. } - \frac{b^2}{2. +more} + \frac{b^4}{4. } - \frac{b^6}{6. } + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {(-1)}^n \frac{b^{2 n}}{(2 n). } \; \mbox{ pro } b \in (-\infty,\infty) :\sin b = \frac{b^1}{1. } - \frac{b^3}{3. } + \frac{b^5}{5. } - \frac{b^7}{7. } + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {(-1)}^n \frac{b^{2 n + 1}}{(2 n + 1). } \; \mbox{ pro } b \in (-\infty,\infty).

čímž dostáváme Eulerův vzorec:

:e^{ib} = \cos(b) + i \sin(b)

Vzorec platí i v obecnějším případě, kdy je x číslo komplexní, protože sinus i kosinus lze pro komplexní argument napsat jako Taylorovy řady stejné jako v případě argumentu reálného.

Pro obecnou definici umocňování komplexním číslem použijeme vzorec e^{r+s}=e^r.e^s:

:e^{a+ib} = e^a . (\cos b + i \sin b)