Logaritmus

Logaritmus kladného reálného čísla x při základu a (a \isin \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}) je takové reálné číslo : y = \log_a x, pro které platí : a^y = x.

V tomto vztahu se číslo a označuje jako základ logaritmu (báze), logaritmované číslo x se někdy označuje jako argument či numerus, y je pak logaritmem čísla x při základu a.

Zvláštní význam mají logaritmy o základu 10 (dekadický logaritmus, zkráceně log nebo lg) a o základu e (Eulerovo číslo, přirozený logaritmus, zkráceně ln nebo log). +moresvg|Graf_logaritmické_funkce_o_základu_e|upright=1. 2'>náhled Graf logaritmické funkce o základu 10.

Logaritmická funkce je matematická funkce, která je inverzní k exponenciální funkci.

Intuitivní odvození

Myšlenka logaritmu vznikla jako rozšíření myšlenky exponentu. Že 2 × 2 = 4 můžeme zapsat také jako 21 × 21 = 22 a místo 4 × 8 = 32 můžeme napsat 22 × 23 = 25. +more Exponent součinu je tedy součet exponentů obou součinitelů, takže při zvoleném základu (2) můžeme násobení převést na sčítání exponentů, zatím jen pro celé exponenty. Podobně můžeme zapsat i dělení: 32:4 = 25: 22 = 23, čili 8. Stejně 1/2 = 1:2 = 20:21 = 2−1 čili 0,5. Místo dělení stačí odečítat exponenty.

Číslo 2 jsme zvolili jako základ a místo „exponentu dvou“ můžeme psát log2. Můžeme tedy napsat, že log2 32 = 5, log2 8 = 3, log2 4 = 2, log2 1 = 0 a log2 0,5 = −1. +more Pro každé číslo x (kromě nuly) platí, že log2 2x = (log2 x) + 1, log2 4x = (log2 x) + 2. Protože 8 = 23, můžeme také psát 8 = 21 × 21 × 21 = 2(1+1+1) a 8 = 2(3x1), takže místo umocňování stačí exponent násobit a místo odmocnění exponent dělit.

Kdybychom místo dvojky zvolili základ 10 (desítkový logaritmus), můžeme psát log10 0,1 = −1, log10 1 = 0 (to platí pro každý základ), log10 100 = 2 atd. I tady bude platit, že log1010x = (log10 x) + 1, log10 100x = (log10 x) + 2.

Dokud jsme mluvili o exponentech, mělo to smysl jen pro celá čísla. Když jsme ale zmínili, že místo odmocňování stačí exponent dělit, může vyjít i necelé číslo: druhou odmocninu z deseti bychom mohli zapsat jako 10(0,5). +more To je právě to, co dělá logaritmická funkce: pokud různé hodnoty výrazu zx vyneseme do grafu (viz obrázek), můžeme jimi proložit spojitou křivku - logaritmickou funkci, které má hodnotu pro všechna reálná x>0. Logaritmus čísla 3 bude někde mezi log101 a log1010, tedy reálné číslo někde mezi nulou a jedničkou. Z logaritmické tabulky můžeme zjistit, že log10 3 = 0,47712125472, takže číslo 3 můžeme zapsat jako 100,47712125472. I zde bude platit, že log10 10x = (log10 x) + 1, log10 0,1x = ( log10 x) - 1, že logaritmus součinu se rovná součtu logaritmů obou činitelů a logaritmus podílu se rovná rozdílu logaritmus dělence minus logaritmus dělitele. Logaritmus mocniny je násobek exponentu a logaritmu mocněnce. Logaritmus odmocniny je podíl logaritmu odmocněnce a odmocnitele.

Historie a použití

Počátkem novověku, s rozvojem astronomie a geodézie a s potřebami námořní navigace, nesmírně vzrostla potřeba složitých výpočtů, zejména trigonometrických, a to na velký počet platných číslic. O myšlence nahradit násobení sčítáním se poprvé zmiňuje korespondence švýcarského matematika a hodináře Josta Bürgiho v roce 1588. +more Ten skutečně sestavil tabulky funkce sinus a brzy po roce 1600 i tabulky jejích logaritmů, které však publikoval až roku 1620 v Praze. O šest let dříve publikoval metodu logaritmů skotský matematik John Napier, který tak platí za jejich objevitele, a roku 1617 publikoval první tabulky desítkových ("briggsových") logaritmů Henry Briggs.

Logaritmické tabulky čísel i goniometrických funkcí, s přesností na 5, 7, 10 až 14 platných číslic pak vycházely až do 20. století a byly nezbytnou pomůckou astronomů, geodetů, ale i námořních kapitánů a studentů aplikované matematiky (umožňovaly nahradit násobení a dělení prostým sčítáním a odčítáním). +more Logaritmy jsou základem pro ekonomické výpočty (úlohy na úročení, inflaci). Každý středoškolák se učil zacházet se školními, pěti- nebo sedmimístnými tabulkami. Pro přibližné technické výpočty (na 3-4 platná místa) se od poloviny 19. století rozšířilo logaritmické pravítko, jehož používání bylo vyučováno ve školách. Teprve s příchodem sálových počítačů v 60. letech 20. století, kalkulaček v 80. letech 20. století a tabulkových procesorů na osobních počítačích v 90. letech 20. století vymizela potřeba usnadňovat (ruční) výpočty pomocí logaritmů (tabulky, logaritmické pravítko).

Vlastnosti logaritmů

Grafy logaritmů o základech 1/2, 2 a e * a^{\log_a x} = \log_a{a^x} = x (Logaritmus je inverzní funkcí k exponenciální funkci o stejném základu. +more Speciálně: \ln \exp x = \exp \ln x = x) * \log_b (ac) = \log_b a + \log_b c (Logaritmus součinu je součet logaritmů jednotlivých činitelů. ) * \log_b \frac{a}{c} = \log_b a - \log_b c (Logaritmus podílu je rozdíl logaritmů čitatele a jmenovatele. ) * \log_b a^r = r \log_b a (tzn. \log_b \sqrt[n]{a} = \frac{1}{n}\log_b a; logaritmus mocniny je roven exponent krát logaritmus základu. ) * \log_b b = 1 * \log_b 1 = 0 * \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} = {\log_a b}\;{\log_b x} * \log_a x = \frac{\log x}{\log a} = \frac{\ln x}{\ln a} (Formule umožňující vyčíslit logaritmus libovolného základu pomocí kalkulačky, případně logaritmických tabulek. ).

Několik užitečných odvození a důsledků

a = a^{\frac{\log_a b}{\log_a b}} = (a^{\log_a b})^{\frac{1}{\log_a b}} = b^{\frac{1}{\log_a b}} * \log_b a = \frac{1}{\log_a b} * a^{\log_b x} = x^{\log_b a} * \log_b x = \log_b (y^{\log_y x}) = {\log_y x}\;{\log_b y} * a^x = b^{\frac{x}{\log_a b}} = b^{{x}\;{\log_b a}}

Vlastnosti logaritmických funkcí

Pro každou logaritmickou funkci y = \log_{a}x platí: * je prostá; * pro a > 1 je rostoucí, pro a ∈ (0; 1) je klesající; * f(1) = 0 (graf funkce prochází bodem [1;0]); * osa y je asymptotou grafu.

Logaritmus komplexního čísla

Často je potřeba vypočítat přirozený logaritmus komplexního čísla. Platí:

\ln z=\ln \left(x+ \mathrm{i}y\right) = \ln (r \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}) = \ln r + \mathrm{i} \phi=\ln |z| + \mathrm{i} \cdot \mathrm{Arg} (z)

Byl zde použit exponenciální tvar komplexního čísla. Proměnná r=|z| udává absolutní hodnotu komplexního čísla a \phi udává argument komplexního čísla.

Máme-li tedy komplexní číslo, pak reálná část jeho logaritmu je rovna logaritmu absolutní hodnoty, zatímco imaginární udává argument (úhel). Je nutno uvést, že úhel komplexního čísla není definován jednoznačně, může se lišit o celé násobky 2\pi. +more Proto se někdy zavádí tzv. hlavní hodnota logaritmu \mathrm{Ln}, u které se většinou uvažují úhly z intervalu (-\pi,\pi \rangle .

Využití

Jednoduchou školskou úlohu na využití logaritmu je například otázka, kolik číslic bude mít mocnina daného čísla. Protože je naše číselná soustava desítková, vypočteme dekadický logaritmus zadané mocniny (z výsledku vyplývá, že číslo 2^{100} má celkem 31 cifer): \log 2^{100} = 100 \cdot \log 2 = 30,10299957

Zjednodušení výpočtů

Pomocí výše uvedených rovností lze složitější operace převádět na jednodušší (násobení a dělení na sčítání a odčítání, mocnění a odmocniny na násobení a dělení), což se zvláště před rozšířením elektronických kalkulaček a počítačů využívalo při složitějších výpočtech prováděných ručně nebo mechanickými kalkulátory (které obvykle uměly jen sčítat). Pro usnadnění přepočtů existovaly logaritmické tabulky s předem vypočítanými hodnotami logaritmů, případně logaritmické pravítko, mechanická pomůcka pro výpočty pomocí logaritmů. +more Dnes patří tyto postupy do historie, ale jsou dobré cvičení pro pochopení toho, jak logaritmy fungují.

Příkladem využití logaritmů je výpočet x = 17300 \cdot \sqrt{15478} pomocí logaritmických tabulek: # Nejprve se výraz zlogaritmuje: \log x = \log (17300 \cdot \sqrt{15478}) = \log 17300 + \frac{1}{2} \log 15478 # Logaritmovaná čísla se upraví na semilogaritmický tvar (abychom hledali jen logaritmy čísel mezi 1 a 10, obsažené v tabulkách): \log 17300 = \log (1{,}7300 \cdot 10^4) = 4+\log 1{,}7300 atd. #V tabulkách se vyhledají příslušné logaritmy (tabulky ovšem obsahují hodnoty jen na několik platných číslic): #* log 17300 ≅ 4,2380 #* log 15478 ≅ 4,1897 # Vypočte se výsledný logaritmus: log x = 4,2380 + 2,0949 = 6,3329 = 6 + 0,3329 # Výsledek se odlogaritmuje, v tabulkách najdeme, že 0,3329 je log 2,1522, takže x=10^{6+0. +more3329}=2{,}1522 \cdot 10^6=2~152~200. # Přesnější výsledek spočtený na běžné kalkulačce je 2 152 303, tzn. relativní chyba výsledku je asi 0,005 %).

Logaritmické pravítko

Pro složitější výpočty bylo dříve místo kalkulaček používáno logaritmické pravítko (zhruba do 70. let 20. +more století), kde byla stupnice logaritmická, a tak bylo možné dvěma posuvnými stupnicemi snadno zjistit výsledek násobení (nahrazení součinu součtem). Logaritmické pravítko bylo tehdy používáno pro technické výpočty (např. v Programu Apollo pro první lety na Měsíc), pro geodetické výpočty, atd.

Logaritmická stupnice grafu

Logaritmická stupnice je používána v grafech pro zdůraznění malých hodnot a zároveň potlačení příliš velkých hodnot.

Odlišení mocninné a exponenciální funkce

Pokud použijeme na svislou osu y logaritmické měřítko, lze jedním pohledem zjistit, zda zobrazená křivka představuje mocninnou nebo exponenciální funkci. Pokud se po zlogaritmování svislé osy stane z křivky přímka, šlo o exponenciální funkci. +more Bude-li nutné pro dosažení přímky zlogaritmovat i vodorovnou osu x, jde o mocninnou funkci. Z nutného postupu pro logaritmickou transformaci obou os (x a y) pro dosažení přímky lze odvodit předpis pro zobrazenou funkci.

Koncentrace roztoků

Některé veličiny nabývají výrazného rozpětí hodnot, až několika řádů. Příkladem může být koncentrace kationtů H3O+ v roztoku:

Je zřejmé, že při zobrazení těchto hodnot na číselné ose bude pivo přibližně 43× blíže k nule než ocet (0,0013/0,00003), mléko bude 100× blíže k nule než pivo (0,00003/0,0000003) a ostatní hodnoty také budou „namačkány“ v těsné blízkosti nuly. Přestože například koncentrace H3O+ v mléku je stále 100000× (o pět dekadických řádů) vyšší než ve čpavku.

V takovém případě je výhodnější místo samotné koncentrace zobrazovat její logaritmus, tedy volně řečeno „řád koncentrace“. Tabulka po zlogaritmování bude vypadat následovně.

Je vidět, že takto upravené hodnoty jsou celkem rozumně rozloženy mezi −11,5 a nulou. Na závěr dodejme, že pH je definováno přibližně takto, pouze logaritmus koncentrace je uváděn bez znaménka. +more (Koncentrace je vždy menší nebo rovna 1, proto logaritmus koncentrace bude vždy menší nebo roven 0. ).

Další využití logaritmů

Logaritmy se objevují také v mnoha vědeckých oborech pro vyjádření závislosti na exponentu. Příkladem jsou jednotky decibel a neper, vyjadřování hvězdné velikosti či v chemii vyjadřování kyselosti roztoků pomocí pH. +more Logaritmickou stupnici používají jednotky magnitudo pro měření míry zemětřesení (Richterova stupnice).

Výpočet úročení

Logaritmus je možné použít na zjištění potřebné délky úročení, pokud je zadáno určité zhodnocení (tj. obrácená úloha k výpočtu úročení vkladu). +more Jako takový je logaritmus využíván ve finanční matematice (viz též Eulerovo číslo).

Speciální báze

Desítkový logaritmus

U logaritmu o základu 10 (nazývaného desítkový či dekadický logaritmus, příp. Briggsův podle Henryho Briggse) se ve značení vynechává základ a píše se jen prostě log x, někdy se používá také speciální značení lg x. +more Je třeba si však dát pozor: použité značení se může v různých odborných literaturách lišit. lg x se běžně využívá ve významu \log_2 x a ne \log_{10} x.

Přirozený logaritmus

Logaritmus o základu e (\log_{e} x) se označuje jako přirozený logaritmus (někdy také Napierův podle Johna Napiera) a značí se \ln x (logaritmus naturalis, latinsky přirozený logaritmus). Vznikl tak, že se hledal základ exponenciální funkce tak, aby tečnou této exponenciály v bodě A=(0,1) byla přímka y = x + 1. +more Odpovídající základ byl označen písmenem e a pojmenován Eulerovo číslo (podle Leonharda Eulera, který se podílel na objevu tohoto čísla).

Binární logaritmus

Hlavně v informatice se objevuje logaritmus o základu dva (binární logaritmus), který je v příslušném kontextu někdy značen \lg x, případně \operatorname{lb} x.

Platí: \log_2 n = \frac{\ln n}{\ln 2} = \frac{\log n}{\log 2}

Např. při binárním vyhledávání v setříděném seznamu, který má n položek, je potřeba maximálně \log_{2}(n) kroků k nalezení hledané hodnoty. +more Tato technika je totiž založena na půlení intervalů.

Taylorova řada pro logaritmus

Pomocí vztahu pro Taylorův rozvoj, případně zintegrováním geometrické řady :\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots

(člen po členu) lze obdržet (Maclaurinův) rozvoj logaritmu do řady kolem bodu 1:

:\ln (1+x) = x - \frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+ \cdots

Tato řada má poloměr konvergence 1, navíc konverguje i pro krajní bod x=1, kde obdržíme známou Leibnizovu řadu pro \ln 2 (konverguje však velmi pomalu):

:\ln 2 = 1 - \frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ \cdots

Řadu pro logaritmus je možné vyjádřit i pro komplexní číslo z=\mathrm{i}y. Pak z předchozího vyplývá, že platí:

:\ln (1+\mathrm{i}y)= \ln \sqrt{1+y^2} +\mathrm{i} \cdot \mathrm{arctg}\, y

Stejně tak lze tento výraz vyjádřit pomocí řady:

:\ln (1+\mathrm{i}y) = \mathrm{i}y + \frac{y^2}{2}-\frac{\mathrm{i} y^3}{3}-\frac{y^4}{4}+\cdots

Porovnáním imaginárních částí vznikne řada pro \mathrm{arctg}:

:\mathrm{arctg}\, y = y - \frac{y^3}{3}+\frac{y^5}{5}-\cdots

Dosazením y=1 vyjde řada pro Ludolfovo číslo:

:\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots

Tato řada však bohužel také konverguje velmi pomalu.

Související články

Diskrétní logaritmus

Externí odkazy

[url=http://mathworld. wolfram. +morecom/Logarithm. html]Logaritmus v encyklopedii MathWorld[/url] (anglicky) * [url=http://www. beda. cz/~jirkaj/log]Logaritmické tabulky čísel od 1 000 000 do 9 999 999[/url].

Kategorie:Elementární funkce