Taylorova řada

sin(x). Sin(x) je vyznačen černě. Taylorova řada je v matematice zvláštní mocninná řada.

Za určitých předpokladů o funkci f(x) v okolí bodu a lze tuto funkci vyjádřit (rozvinout) jako mocninnou řadu. Toto vyjádření funkce prostřednictvím Taylorovy řady se označuje jako Taylorův rozvoj. +more Pokud se jedná o rozvoj v okolí bodu 0, mluvíme o Maclaurinově řadě.

Pro přibližné vyjádření hodnot funkce není nutné vyjadřovat všechny členy Taylorovy řady, ale můžeme zanedbat členy s vyššími derivacemi. Získáme tím tzv. +more Taylorův polynom. Taylorův polynom tedy aproximuje hodnoty funkce, která má v daném bodě derivaci, pomocí polynomu, jehož koeficienty závisí na derivacích funkce v tomto bodě.

Řada je pojmenována po anglickém matematikovi Brooku Taylorovi, který ji publikoval v roce 1712, avšak metoda aproximace funkce mocninnou řadou byla objevena již roku 1671 Jamesem Gregorym.

Definice

V případě existence všech konečných derivací funkce f v bodě a lze Taylorovu řadu zapsat jako :f(x) = f(a) + \frac{f^\prime(a)}{1. } (x - a) + \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2. +more}(x - a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3. }(x - a)^3 + . = \sum_{k=0}^{\infin} \frac{f^{(k)}(a)}{k. } (x-a)^{k}.

Má-li funkce f v bodě a konečné derivace až do řádu n, pak Taylorův polynom řádu n funkce f v bodě a je polynom: :T_n^{f,a}(x) = f(a) + \frac {f^\prime(a)} {1. } (x-a) + \frac {f^{\prime\prime}(a)} {2. +more} (x-a)^2 + \ldots + \frac {f^{(n)}(a)} {n. } (x-a)^n = \sum_{k=0}^n \frac {f^{(k)}(a)} {k. } (x - a)^k, kde nultou derivací je myšlena samotná funkce, tzn. f^{(0)}=f.

Taylorův polynom je tedy speciálním případem Taylorovy řady, který získáme tehdy, jsou-li od určitého n všechny vyšší derivace nulové.

Taylorova věta

Rozvoj funkce f(x), která má v okolí bodu a konečné derivace do (n+1)-tého řádu je obsahem Taylorovy věty, která říká, že takovéto funkce lze v okolí bodu a vyjádřit jako :f(x) = f(a) + \frac{f^\prime(a)}{1. }(x - a) + \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2. +more}{(x - a)}^2 + . + \frac{f^{(n)}(a)}{n. }{(x - a)}^n + R_{n+1}^{f,a}(x). Nechť je funkce \varphi spojitá na okolí bodu a a zároveň má na tomto okolí vlastní nenulovou derivaci. Potom existuje c z tohoto okolí tak, že :R_{n+1}^{f,a}(x) = \frac{1}{n. }\frac{\varphi(x) - \varphi(a)}{\varphi^\prime(c)}f^{(n+1)}(c)(x-c)^n. Speciálně lze zbytek R_{n+1} vyjádřit i některým z následujících tvarů (při zachování odpovídajících podmínek): * R_{n+1}^{f,a}(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1). }{(x-a)}^{n+1} (tzv. Lagrangeův tvar zbytku, tedy \varphi(t)=(x-t)^{n+1}) * R_{n+1}^{f,a}(x) = \frac{1}{n. }f^{(n+1)}(c)(x-c)^n(x-a) (tzv. Cauchyův tvar zbytku, tedy \varphi(t)=t).

Taylorova řada funkce f(x) konverguje v bodě x k funkční hodnotě f(x) právě když :\lim_{n \to \infty} R_n^{f,a}(x) = 0

Taylorova řada funkce více proměnných

Pro funkci f(x_1,x_2,. ,x_n) lze v okolí bodu A=[a_1,a_2,. +more,a_n] vyjádřit Taylorovu větu pomocí totálních diferenciálů jako :f(x_1,x_2,. ,x_n) = f(a_1,a_2,. ,a_n) + \frac{\mathrm{d}f(a_1,a_2,. ,a_n)}{1. } + \frac{\mathrm{d}^2 f(a_1,a_2,. ,a_n)}{2. } + . + \frac{\mathrm{d}^n f(a_1,a_2,. ,a_n)}{n. } + R_{n+1}^{f,a}, kde funkci R_{n+1}^{f,a}, která udává chybu, které se dopouštíme při ukončení rozvoje n-tým členem, lze vyjádřit ve tvaru :R_{n+1}^{f,a} = \frac{\mathrm{d}^{n+1} f(a_1+\Theta (x_1 - a_1),a_2+\Theta (x_2 - a_2),. ,a_n + \Theta (x_n - a_n))}{(n+1). } pro \Theta \in (0,1).

Maclaurinova řada

Pro a=0 přechází Taylorova řada v řadu Maclaurinovu, tedy :f(x) = f(0) + \sum_{n=1}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n

Maclaurinovy řady běžných funkcí

Maclaurinova řada polynomu je tentýž polynom. * aproximovanou hodnotu funkce \mathrm{e}^x v blízkosti bodu x = 0 určíme tak, že se omezíme pouze na n členů Taylorova rozvoje, čímž získáme Taylorův polynom stupně n-1 Taylorův rozvoj: \mathrm{e}^x = 1 + x + \frac{x^2}{2. +more} + \frac{x^3}{3. } + \cdots = \sum_{i=0}^\infty \frac{x^i}{i. } \; \mbox{ pro } x \in (-\infty,\infty).

aproximovaná hodnota funkce: \textrm{e}^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^{n}}{(n)!}.

* \frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {x^n} \; \mbox{ pro } x \in (-1,1)

* {(1 + x)}^r = 1 + {r \choose 1}x + {r \choose 2}x^2 + {r \choose 3}x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {r \choose n}x^n \; \mbox{ pro } r \in \mathbb{R}, x \in (-1,1), kde \binom{r}{n}= \prod_{k=1}^n \frac{r-k+1}{k}=\frac{r\cdot(r-1)\cdot\cdot\cdot(r-n+1)}{n!}

* \ln (1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} - \cdots = \sum_{n=1}^\infty {(-1)}^{n+1} \frac{x^n}{n} \; \mbox{ pro } x \in (-1,1\rangle

* a^x = 1 + \frac{x \ln a}{1!} + \frac{x^2 \ln^2 a}{2!} + \frac{x^3 \ln^3 a}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{{(x \ln a)}^n}{n!} \; \mbox{ pro } a>0, x \in (-\infty,\infty)

* \ln \frac{1+x}{1-x} = 2\left[x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \frac{x^7}{7} + \cdots \right] = 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} \; x \in (-1,1) Goniometrické funkce: * \sin x = x - \frac{x^3}{3. } + \frac{x^5}{5. +more} - \frac{x^7}{7. } + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {(-1)}^n \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1). } \; \mbox{ pro } x \in (-\infty,\infty) * \cos x = 1 - \frac{x^2}{2. } + \frac{x^4}{4. } - \frac{x^6}{6. } + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {(-1)}^n \frac{x^{2 n}}{(2 n). } \; \mbox{ pro } x \in (-\infty,\infty) * \operatorname{tg}\,x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots \; \mbox{ pro } x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) * \operatorname{cotg}\,x = \frac{1}{x} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 - \frac{2}{945}x^5 - \cdots \; \mbox{ pro } x \in (0,\pi).

Cyklometrické funkce: * \operatorname{arcsin}\,x = x + \frac{1}{2}\frac{x^3}{3} + \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{x^5}{5} + \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{5}{6}\frac{x^7}{7} + \cdots = x + \sum_{n=1}^\infty \frac{(2 n - 1). }{(2 n). +more} \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} \; \mbox{ pro } x \in \langle-1,1\rangle.

* \operatorname{arccos}\,x = \frac{\pi}{2}-\arcsin\,x=\frac{\pi}{2} - x - \frac{1}{2}\frac{x^3}{3} - \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{x^5}{5} - \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{5}{6}\frac{x^7}{7} + \cdots = \frac{\pi}{2} - x - \sum_{n=1}^\infty \frac{(2 n - 1). }{(2 n). +more} \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} \; \mbox{ pro } x \in \langle-1,1\rangle.

* \operatorname{arctg}\,x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty {(-1)}^n \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1} \; \mbox{ pro } x \in \langle-1,1\rangle

Hyperbolické funkce: * \sinh x = x + \frac{x^3}{3. } + \frac{x^5}{5. +more} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1). } \; \mbox{ pro } x \in (-\infty,\infty).

* \cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} \; \mbox{ pro } x \in (-\infty,\infty)

* \tanh\,x = x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5-\frac{17}{135}x^7+\cdot\cdot\cdot \; \mbox{ pro } x \in \Bigl(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \Bigr) Hyperbolometrické funkce: * \operatorname{arsinh}\,x=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (2n). }{4^n (n. +more)^2 (2n+1)}x^{2n+1} \; \mbox{ pro } x \in \langle-1,1\rangle * \operatorname{artanh}\,x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \; \mbox{ pro } x \in (-1,1).

Výpočet Taylorova polynomu

Pro výpočet Taylorova polynomu složitějších funkcí se používá několik metod. Dá se počítat přímo z definice, což ale vyžaduje výpočet derivací vyšších řádů, které mohou být složité. +more Častěji se používá substituce, násobení, dělení, sčítání nebo odčítání Taylorových polynomů známých funkcí.

První příklad

Chceme spočítat Taylorův polynom řádu 7 v bodě 0 funkce f(x)=\ln(\cos(x)) . Nejprve si funkci přepíšeme jako f(x)=\ln(1+(\cos(x)-1)).

Taylorův polynom přirozeného logaritmu je \ln(1+z)=z-\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}+O(z^4) a funkce kosinus z=\cos(x)-1=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+O(x^8) (používáme notaci velké O, neboli Landauovu notaci).

Nyní využijeme substituce vnitřní funkce a vynecháme členy stupně vyššího než 7 díky použití notace velké O:

f(x)=\ln(1+(\cos\,x-1))=(\cos\,x-1)-\frac{1}{2}(\cos\,x -1)^2+\frac{1}{3}(\cos\,x -1)^3+O((\cos\,x -1)^4)=\Bigl(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+O(x^8)\Bigr)-\frac{1}{2}\Bigl( -\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O(x^6) \Bigr)^2 + \frac{1}{3}\Bigl( -\frac{x^2}{2}+O(x^4) \Bigr)^3 + O(x^8)=

=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}-\frac{x^4}{8}+\frac{x^6}{48}-\frac{x^6}{24}+O(x^8)=-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{12}-\frac{x^6}{45}+O(x^8) .

Na závěr si můžeme všimnout, že koeficienty u x, x^3, x^5, x^7, \cdot\cdot\cdot jsou nulové, což odpovídá tomu, že kosinus je sudá funkce.

Druhý příklad

Chceme spočítat Taylorův polynom funkce g(x)=\frac{e^x}{\cos\,x} v bodě 0.

Máme známé Taylorovy polynomy: e^x=1+x+\frac{x^2}{2. }+\frac{x^3}{3. +more}+\frac{x^4}{4. }+O(x^4) a \cos\,x=1-\frac{x^2}{2. }+\frac{x^4}{4. }+O(x^4) . K řešení použijeme metodu neurčitých koeficientů.

Předpokládejme, že platí \frac{e^x}{\cos\,x}=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+c_4x^4+\cdot\cdot\cdot Vynásobíme obě strany rovnice jmenovatelem

e^x=(c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+c_4x^4)\cos\,x=(c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+c_4x^4)\Bigl(1-\frac{x^2}{2. }+\frac{x^4}{4. +more}+O(x^4)\Bigr)=c_0-\frac{c_0}{2}x^2+\frac{c_0}{4. }x^4+c_1x-\frac{c_1}{2}x^3+\frac{c_1}{4. }x^5+c_2x^2-\frac{c_2}{2}x^4+\frac{c_2}{4. }x^6+c_3x^3-\frac{c_3}{2}x^5+\frac{c_3}{4. }x^7+O(x^4) .

Dáme k sobě koeficienty u stejných mocnin

=c_0+c_1x+\Bigl(c_2-\frac{c_0}{2}\Bigr)x^2+\Bigl(c_3-\frac{c_1}{2}\Bigr)x^3+\Bigl(c_4-\frac{c_2}{2}+\frac{c_0}{4!}\Bigr)x^4+O(x^4)

Porovnáním s koeficienty Taylorova polynomu exponenciální funkce dostáváme řešení

\frac{e^x}{\cos\,x}=1+x+x^2+\frac{2}{3}x^3+\frac{x^4}{2}+O(x^4)

Odkazy

Reference

Související články

Laurentova řada * Řada * Derivace

Literatura

Rektorys Karel a kol. : Přehled užité matematiky I. +more Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. * Tkadlec Josef: Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné. Nakladatelství ČVUT, Praha 2004, 1. vydání. * Krbálek Milan: Matematická analýza III. Nakladatelství ČVUT, Praha 2008, 2. vydání.

Externí odkazy

[url=http://www. cut-the-knot. +moreorg/Curriculum/Calculus/TaylorSeries. shtml]Ukázka aproximace kosinu - graf[/url] * [url=http://ivankuckir. blogspot. com/2010/09/tayloruv-polynom-srozumitelne. html]Taylorův polynom - názorné vysvětlení[/url].

Kategorie:Diferenciální počet Kategorie:Matematická analýza

Szereg Taylora