Imaginární jednotka

Imaginární jednotka na číselné ose. Jako imaginární jednotka se v matematice označuje číslo značené i (někdy též j nebo 𝕚), které rozšiřuje obor reálných čísel ℝ na obor čísel komplexních ℂ. Po tomto rozšíření existuje řešení libovolné polynomiální rovnice f(x) = 0.

V reálných číslech některé takové rovnice řešení nemají, konkrétně např. rovnice x² + 1 = 0. +more Pokud je k množině reálných čísel přidán nový prvek i, který tuto rovnici řeší, algebraickým uzávěrem takto vzniklé množiny je právě množina komplexních čísel, ve kterých má řešení už každá polynomiální rovnice.

V oboru elektrotechniky je často imaginární jednotka označována jako j místo i, protože i se běžně používá pro označení okamžité hodnoty elektrického proudu.

Definice

Podle definice imaginární jednotka i je řešením rovnice

:x2 = −1

Operace s reálnými čísly lze rozšířit na imaginární a komplexní čísla tak, že při manipulaci s výrazem zacházíme s i jako s neznámou veličinou a použijeme tuto definici k tomu, abychom nahradili všechny výskyty i2 číslem −1.

i a −i

Výše uvedená rovnice má ve skutečnosti dvě různá řešení která jsou aditivně inverzní. Přesněji, pokud řekneme, že řešením rovnice je i, je také řešením této rovnice −i (≠ i). +more Protože výše uvedená rovnice je jedinou definicí i, je zřejmé, že tato definice je nejednoznačná. Tuto nejednoznačnost odstraníme tak, že vybereme a zafixujeme jako řešení výše uvedené rovnice „pozitivní i“.

Upozornění

Imaginární jednotka se někdy zapisuje jako \sqrt{-1}, ale je třeba dát pozor při manipulaci s těmito odmocninami. Při aplikaci pravidel platících pro odmocniny z kladných reálných čísel na celý obor reálných čísel můžeme dostat špatný výsledek :

:-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} \neq \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1

Kalkulační pravidlo :\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} je v oboru reálných čísel platné, pokud a ≥ 0 nebo b ≥ 0. Nemůžeme ho tedy použít, pokud jsou obě čísla záporná. +more Můžeme ho však použít pro výpočet odmocniny ze záporného čísla, např. druhou odmocninu z čísla -4 vypočteme jako: :\sqrt{-4} = \sqrt{4 \cdot (-1)} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{-1} = 2i.

Abychom se vyhnuli chybám při manipulaci s komplexními čísly, je lépe nepoužívat záporná čísla pod odmocninou.

Mocniny i

Mocniny i se cyklicky opakují:

:i^0 = 1 :i^1 = i :i^2 = -1 :i^3 = -i :i^4 = 1 :i^5 = i :i^6 = -1

To lze vyjádřit matematickým vzorcem, kde n je libovolné celé číslo:

:i^{4n} = 1 :i^{4n+1} = i :i^{4n+2} = -1 :i^{4n+3} = -i

i a Eulerův vzorec

Vezmeme Eulerův vzorec e^{ix} = \cos x + i\sin x, a po dosazení \pi/2 za x, dostaneme

:e^{i\pi/2} = i

Jestliže obě strany umocníme na i, a využijeme i^2 = -1, získáme následující rovnost:

:i^i = e^{-\pi/2} = 0{,}2078795763\dots

Ve skutečnosti je snadné určit, že i^i má nekonečný počet řešení ve tvaru

:i^i = e^{-\pi/2 + 2\pi N}

Z výše uvedené identity

:e^{i\pi/2} = i

lze odvodit Eulerovu identitu

:e^{i\pi} + 1 = 0,

V Gaussově rovině imaginární jednotku představuje číslo [0;1].

Každé komplexní číslo lze zapsat (v tzv. algebraickém tvaru) ve tvaru a + ib, kde a a b jsou reálná čísla

Odkazy

Související články

Komplexní číslo * Komplexní jednotka * Hyperkomplexní číslo

Externí odkazy

Kategorie:Algebraická čísla Kategorie:Matematické konstanty Kategorie:Komplexní čísla Kategorie:Matematické symboly