Cesko.wiki Uzávěr množiny
Author
Albert FloresUzávěr množiny je nejmenší uzavřená množina topologického prostoru, která danou množinu obsahuje. Uzávěr M značíme většinou \overline{M}, popř. \mathrm{cl}\,M.
Neformální úvod
Pojem uzavřená množina lze názorně definovat na reálných číslech nebo v Euklidovském prostoru, abstraktněji v metrických prostorech a ještě obecněji v topologickém prostoru.
Níže uvedená definice a vlastnosti platí pro každou z právě vyjmenovaných situací.
Definice
Průnik všech uzavřených množin topologického prostoru X, které obsahují M jako svou podmnožinu, nazveme uzávěr množiny M, značíme \overline{M}.
:\overline{M} = \bigcap \{ U \subseteq X: U je uzavřená \land M \subseteq U\}
Ekvivalentně lze definovat uzávěr množiny M jako množinu \overline{M} všech bodů topologického prostoru, jejichž libovolné okolí U má neprázdný průnik s M.
: \overline{M} = \{ x \in X: \forall U(x)\quad U(x) \cap M \neq \emptyset\}
Vnitřní a vnější body
Uzávěr množiny \mathbf{A} \subset \mathbf{M} metrického prostoru (\mathbf{M},\rho) lze také vyjádřit s pomocí rozdílu množin jako \mathbf{M} \backslash \mathrm{int}(\mathbf{M} \backslash \mathrm{A}), kde \mathrm{int} \mathbf{X} označuje vnitřek množiny \mathbf{X}.
Vnitřek množiny tvoří množina všech vnitřních bodů. Bod a \in \mathbf{X} označíme jako vnitřní bod množiny \mathbf{X} \subseteq \mathbf{M}, pokud existuje takové r > 0, že pro množinu \mathbf{B}(a,r)= \{x \in \mathbf{M}:\rho(a,x) platí \mathbf{B}(a,r) \subset \mathbf{X}.
Pokud platí \mathbf{X} = \mathrm{int} \mathbf{X}, pak se množina \mathbf{X} nazývá otevřená (v metrice \rho).
Pro množiny \mathbf{A} \subset \mathbf{M}, \mathbf{B} \subset \mathbf{M} metrického prostoru (\mathbf{M},\rho) platí vztahy * \mathrm{int} \mathbf{A} \subset \mathbf{A} * \mathrm{int} \, \mathrm{int} \mathbf{A} = \mathrm{int} \mathbf{A} * \mathrm{int} (\mathbf{A} \cap \mathbf{B}) = \mathbf{A} \cap \mathbf{B} * \mathrm{int} (\mathbf{A} \cup \mathbf{B}) \subset \mathbf{A} \cup \mathbf{B} * pokud \mathbf{A} \subset \mathbf{B}, pak platí také \mathrm{int} \mathbf{A} \subset \mathrm{int} \mathbf{B} * každá otevřená podmnožina množiny \mathbf{A} je podmnožinou \mathrm{int} \mathbf{A} * množinu \mathrm{int} \mathbf{A} získáme jako sjednocení všech otevřených podmnožin množiny \mathbf{A}.
Je-li \mathbf{A} \subset \mathbf{M} částí metrického prostoru (\mathbf{M},\rho), pak vnitřek množiny \mathbf{M} \backslash \mathbf{A} nazveme vnějškem množiny \mathbf{A}. Body nacházející se ve vnějšku \mathbf{A} nazýváme vnějšími body množiny \mathbf{A}.
Pokud existuje takové okolí \mathbf{U} bodu a \in \mathbf{A}, že \mathbf{U} \cap \mathbf{A} = \{a\}, pak bod a nazýváme izolovaným bodem.
Jestliže každé okolí bodu x \in \mathbf{M} obsahuje prvek množiny \mathbf{A} \subseteq \mathbf{M} různý od x, pak bod x se nazývá hromadným bodem množiny \mathbf{A}.
Bod uzávěru je hromadným bodem množiny \mathbf{A} (pokud se nejedná o izolovaný bod).
Vlastnosti uzávěru
Z toho, že průnik libovolného počtu uzavřených množin je uzavřená množina, je i uzávěr množiny uzavřená množina. Naopak platí, že množina je uzavřená pravě tehdy, když je rovna svému uzávěru, tzn. +more \overline \mathbf{M} = \mathbf{M}.
* Uzávěr prázdné množiny je prázdná množina.
* Uzávěr celého X je X, tzn. \overline X = X. +more * Pro \mathbf{A} \subseteq \mathbf{X}, \mathbf{B} \subseteq \mathbf{X} platí ** \mathbf{A} \subseteq \overline \mathbf{A} ** \overline {\overline {\mathbf{A}}} = \overline \mathbf{A} ** \overline {(\mathbf{A} \cap \mathbf{B})} \subseteq \overline \mathbf{A} \cap \overline \mathbf{B} (Ale pozor: obrácená inkluze obecně neplatí. Zvažme například situaci X=\mathbb{R},\,\mathbf{A}=[0,1) a \mathbf{B}=[1,2]. ) ** \overline {(\mathbf{A} \cup \mathbf{B})} = \overline \mathbf{A} \cup \overline \mathbf{B} ** pokud \mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}, pak \overline \mathbf{A} \subseteq \overline \mathbf{B} ** je-li \mathbf{A} je podmnožinou uzavřené množiny \mathbf{B}, pak \overline \mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}.