Integrace použitím Eulerova vzorce

Eulerův vzorec pro komplexní čísla lze v integrálním počtu použít pro vyhodnocení integrálů, které obsahují goniometrické funkce. Použitím Eulerova vzorce můžeme zapsat libovolnou trigonometrickou funkci jako komplexní exponenciální funkci obsahující e^{ix} a e^{-ix} a tu pak integrovat. Tato technika je často jednodušší a rychlejší než použití trigonometrických identit nebo integrace per partes, a je dostatečně silná pro integraci libovolné racionální funkce obsahující trigonometrické funkce.

Eulerův vzorec

Eulerův vzorec: :e^{ix} = \cos x + i\,\sin x. Substitucí -x za x dostaneme rovnici :e^{-ix} = \cos x - i\,\sin x, protože funkce kosinus je sudá funkce a sinus lichá. +more Z těchto dvou rovnic lze vyjádřit sinus a kosinus: :\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\quad\text{a}\quad\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.

Příklady

První příklad

Uvažujme integrál :\int \cos^2 x \, dx. Standardní postup řešení tohoto integrálu je použít vzorec pro poloviční úhel pro zjednodušení integrandu. +more Místo toho můžeme použít Eulerovu identitu: :\begin{align} \int \cos^2 x \, dx \,&=\, \int \left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^2 dx \\[6pt] &=\, \frac14\int \left( e^{2ix} + 2 +e^{-2ix} \right) dx \end{align} Nyní je možné se vrátit zpět k reálným číslům použitím vzorce . Případně můžeme integrovat komplexní exponenciály a k trigonometrickým funkcím se již nevracet: :\begin{align} \frac14\int \left( e^{2ix} + 2 + e^{-2ix} \right) dx &= \frac14\left(\frac{e^{2ix}}{2i} + 2x - \frac{e^{-2ix}}{2i}\right)+C \\[6pt] &= \frac14\left(2x + \sin 2x\right) +C. \end{align}.

Druhý příklad

Uvažujme integrál :\int \sin^2 x \cos 4x \, dx. Řešení tohoto integrálu použitím trigonometrických identit je poměrně komplikované, ale při použití Eulerovy identity je docela jednoduché: :\begin{align} \int \sin^2 x \cos 4x \, dx &= \int \left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^2\left(\frac{e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}\right) dx \\[6pt] &= -\frac18\int \left(e^{2ix} - 2 + e^{-2ix}\right)\left(e^{4ix}+e^{-4ix}\right) dx \\[6pt] &= -\frac18\int \left(e^{6ix} - 2e^{4ix} + e^{2ix} + e^{-2ix} - 2e^{-4ix} + e^{-6ix}\right) dx. +more \end{align} Nyní můžeme buď integrovat přímo nebo můžeme nejdřív provést substituci výrazu . Obě metody dávají :\int \sin^2 x \cos 4x \, dx = -\frac{1}{24} \sin 6x + \frac18\sin 4x - \frac18 \sin 2x + C.

Použití reálných částí

Kromě přímého využití Eulerovy identity lze často vhodně využít reálné části komplexních výrazů. Pokud máme například integrál :\int e^x \cos x \, dx. +more Protože je reálná část , víme, že :\int e^x \cos x \, dx = \operatorname{Re}\int e^x e^{ix}\, dx. Integrál na pravé straně lze snadno vypočítat: :\int e^x e^{ix} \, dx = \int e^{(1+i)x}\,dx = \frac{e^{(1+i)x}}{1+i} + C. Odtud postupně dostaneme :\begin{align} \int e^x \cos x \, dx &= \operatorname{Re}\left(\frac{e^{(1+i)x}}{1+i}\right) + C \\[6pt] &= e^x\operatorname{Re}\left(\frac{e^{ix}}{1+i}\right) +C \\[6pt] &= e^x\operatorname{Re}\left(\frac{e^{ix}(1-i)}{2}\right) +C \\[6pt] &= e^x \frac{\cos x + \sin x}{2} +C. \end{align}.

Zlomky

Obecně lze tuto techniku použít pro vyhodnocení libovolného zlomku, který obsahuje trigonometrické funkce. Například při řešení integrálu :\int \frac{1+\cos^2 x}{\cos x + \cos 3x} \, dx dostaneme použitím Eulerovy identity :\frac12 \int \frac{12 + e^{2ix} + e^{-2ix} }{e^{ix} + e^{-ix} + e^{3ix} + e^{-3ix}} \, dx. +more Pokud nyní provedeme substituci , výsledek je integrál racionální funkce: :-\frac{i}{2}\int \frac{1+12u^2 + u^4}{1 + u^2 + u^4 + u^6}\,du, který můžeme řešit pomocí rozkladu na parciální zlomky.

Odkazy

Reference

Související články

Trigonometrická substituce * Weierstrassova substituce * Eulerova substituce

Kategorie:Integrální počet