Cesko.wiki Kosinus
Author
Albert FloresGraf funkce kosinus Kosinus je goniometrická funkce.
Pro označení této funkce se obvykle používá značka cos doplněná značkou nezávisle proměnné (zpravidla úhlu).
V pravoúhlém trojúhelníku bývá definována jako poměr přilehlé odvěsny a přepony. Definici lze konzistentně rozšířit jak na celá reálná čísla, tak i do oboru komplexních čísel.
Grafem kosinu v reálném oboru je kosinusoida (posunutá sinusoida).
Kosinus na jednotkové kružnici
+more0'> Kosinus α na jednotkové kružnici Kosinus se jednoduše definuje na jednotkové kružnici (kružnici se středem v počátku a s poloměrem 1): Je-li α úhel, který má počáteční rameno v kladné poloose x a je orientovaný od kladné poloosy x proti směru hodinových ručiček), je cos α roven x-ové souřadnici průsečíku této kružnice s koncovým ramenem úhlu α, jinak řečeno, rovná se (v absolutní hodnotě) délce úsečky z počátku k patě kolmice spuštěné z tohoto průsečíku na osu x. Délce této kolmice, přesněji (s ohledem na znaménko) y-ové souřadnici průsečíku jednotkové kružnice s koncovým ramenem úhlu α, je pak roven sin α.
Poloměr, kolmice a tato úsečka tvoří pravoúhlý trojúhelník, pro nějž platí Pythagorova věta, takže platí: :(sin α)2 + (cos α)2 = 1. Na jednotkové kružnici je také vidět, že kosinus je v prvním a čtvrtém kvadrantu nezáporný (≥ 0), kdežto ve druhém a třetím nekladný (≤ 0). +more V prvním a druhém kvadrantu je klesající, ve třetím a čtvrtém rostoucí.
Orientovaný úhel lze rozšířit na všechna reálná čísla předpisem \alpha+k \cdot 2\pi v úhlové míře resp. \alpha+k \cdot 360^\circ v míře stupňové, kde k je celé číslo. +more Kosinus lze tedy konzistentně definovat jako funkci na celé množině reálných čísel:.
Kosinus v reálném oboru
Funkce y=\cos x\,\. má následující vlastnosti (kde k je libovolné celé číslo): * Definiční obor: \mathbb{R} (reálná čísla) * Obor hodnot: \langle-1;1\rangle * Rostoucí: v každém intervalu \left(\pi+2k\pi, 2 \pi + 2k\pi\right) * Klesající: v každém intervalu \left(2k\pi, \pi+2k\pi\right) * Maximum: +1 v bodech 2k\pi * Minimum: −1 v bodech \pi+2k\pi * Derivace: (\cos x)'=-\sin x\,\. +more * Integrál: \int \cos x\, \mathrm{d}x = \sin x + c * Taylorův polynom: \cos x = 1 - \frac{x^2}{2. } + \frac{x^4}{4. } - \frac{x^6}{6. } + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n). } = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-x^{2})^{n}}{(2n). } * Inverzní funkce (na intervalu \langle -1;1\rangle a oborem hodnot \textstyle\left\langle 0, \pi \right\rangle: Arkus kosinus (arccos) * Kosinus dvojnásobného argumentu: \cos (2x) = \cos^2 x - \sin^2 x * je: ** sudá ** omezená shora i zdola ** periodická s periodou 2k\pi.
Kosinus v komplexním oboru
Funkce kosinus je v komplexních číslech definována součtem řady
:\cos z = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!}
která konverguje na celé komplexní rovině. Pro každá dvě komplexní čísla z1,z2 platí:
:\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, :\cos\left(z_1+z_2\right)=\cos z_1 \cos z_2 - \sin z_1 \sin z_2, :\cos iz = \cosh z,\,
Tyto vzorce plynou přímo z příslušných definičních mocninných řad daných funkcí. Kosinus je na celé komplexní rovině jednoznačná holomorfní funkce.