Řada (matematika)

Řada (také nekonečná řada) je matematický výraz ve tvaru \sum_{n=1}^\infty a_n, kde a_1, a_2, a_3, \ldots je nějaká posloupnost.

Pokud jsou členy řady tvořeny čísly, tzn. každý člen a_n \, závisí pouze na svém pořadovém čísle n \,, pak hovoříme o číselných řadách (řadách s konstantními členy). +more Každý prvek řady však může záviset nejen na svém pořadovém čísle n \,, ale také na dalších parametrech. Takové řady označujeme jako funkční (popř. také funkcionální). Funkční řada je řada, jejímiž členy jsou funkce. Funkční řadu, kterou získáme z funkční posloupnosti (f_n(x)) \,, vyjadřuje výraz :\sum_{n=1}^\infty f_n(x) = f_1(x)+f_2(x)+f_3(x)+ \cdots pro x \in (a,b), kde (a,b) je vzájemný průnik definičních oborů funkcí f_1 až f_n.

Zvolíme-li libovolné x_0 \in (a,b), pak získáme číselnou řadu \sum_{n=1}^\infty f_n(x_0).

Součet řady

Z posloupnosti a_1, a_2, a_3, \ldots lze vytvořit novou posloupnost (s_n) \,, jejíž členy jsou určeny jako s_n=\sum_{k=1}^n a_k, tedy (konečný) součet prvních n prvků posloupnosti (a_n) \,. Posloupnost (s_n) \, označujeme jako posloupnost částečných součtů nebo sumaci řady \sum a_n. +more Člen s_n \, této posloupnosti se nazývá n-tým částečným součtem nekonečné řady.

Součet nekonečné řady je definován prostřednictvím limity posloupnosti částečných součtů jako :\lim_{n \to \infty}s_n. Termín „řada“ bývá v některých případech ztotožňován s tímto součtem.

Konvergence řady

Má-li posloupnost částečných součtů konečnou limitu, tedy :\lim_{n \to \infty} s_n=s, pak je řada konvergentní (např. \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}), popř. +more bodově konvergentní v případě funkční řady. Pokud uvedená limita neexistuje (například \sum_{n=1}^\infty (-1)^n - posloupnost částečných součtů je oscilující) nebo je nevlastní, tedy s= \pm \infty (například \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \infty), pak je řada divergentní.

Pro číselné řady je součtem řady číslo. Pro funkční řady je součtem řady funkce s(x) = \lim_{n \to \infty} s_n(x).

Řada a_1+a_2+a_3+. komplexních čísel a_k = \alpha_k+\mathrm{i}\beta_k \,, kde \alpha_k, \beta_k \, jsou reálná čísla pro k=1,2,. +more \,, je konvergentní tehdy a jen tehdy, konvergují-li obě řady \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+. \, a \beta_1+\beta_2+\beta_3+. \,.

Pokud \lim_{n \to \infty} \alpha_n=\alpha a \lim_{n \to \infty} \beta_n=\beta, pak :\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty}\alpha_n + \mathrm{i}\lim_{n \to \infty} \beta_n = \alpha+\mathrm{i}\beta = a

Konverguje-li řada \sum a_n, pak konverguje také řada \sum c a_n. Jestliže konverguje řada \sum a_n, pak konverguje také řada, která z této řady vznikne přidáním nebo odebráním konečného počtu členů. +more Pokud řada \sum a_n diverguje, pak bude divergentní také řada, která vznikne z této řady přidáním nebo odebráním konečného počtu členů.

U funkčních řad se jako \sum f_n(x) označuje množina \mathbf{M} všech x, pro která je daná řada konvergentní, jako obor konvergence dané řady.

Absolutní konvergence

Pokud konverguje řada \sum_{n=1}^\infty a_n, ale nekonverguje řada \sum_{n=1}^\infty |a_n|, pak řada \sum_{n=1}^\infty a_n konverguje neabsolutně.

Pokud konverguje řada \sum_{n=1}^\infty |a_n| i řada \sum_{n=1}^\infty a_n, pak řada \sum_{n=1}^\infty a_n konverguje absolutně.

Pro absolutně konvergentní řady platí komutativní, asociativní a distributivní zákony. Přesouváním členů absolutně konvergentní řady se nezmění konvergence ani součet řady.

Jsou-li dány dvě absolutně konvergentní řady \sum_{n=1}^\infty a_n, \sum_{n=1}^\infty b_n se součty s_a, s_b \,, pak platí :\sum_{n=1}^\infty (a_n+b_n) = s_a+s_b :\sum_{n=1}^\infty c_n = \sum_{n=1}^\infty a_n \sum_{n=1}^\infty b_n = s_a s_b, kde c_n = a_1 b_n + a_2 b_{n-1}+ ... +a_{n-1}b_2 + a_n b_1 \,.

Stejnoměrná konvergence

Řadu funkcí \sum_{i=1}^\infty f_i(z) označíme jako stejnoměrně konvergentní, pokud v uzavřené oblasti \mathbf{G} komplexní roviny z existuje takové číslo \varepsilon>0 a k němu číslo N(\varepsilon), že pro libovolné n>N(\varepsilon) a z \in \mathbf{G} platí |s_n-s|. Je-li z reálné, pak oblast \mathrm{G} představuje interval.

Podmínky konvergence

U konvergentních řad lze zavést zbytek řady po n-tém součtu jako :R_n = s - s_n \,

Podmínku konvergence řady lze vyjádřit také tak, že nekonečná řada konverguje právě tehdy, pokud k libovolnému kladnému číslu \varepsilon existuje takové N(\varepsilon), že pro libovolné n>N(\varepsilon) platí nerovnost :\left|R_n\right| = \left|s-s_n\right|

Nutnou podmínkou konvergence řady \sum a_n je :\lim_{n \to \infty} a_n=0

Pokud se součet řady \sum a_n vyjádří ve tvaru s=s_n+R_n \,, kde s_n \, je n \,-tý částečný součet a R_n \, je zbytek řady po n \,-tém částečném součtu, pak nutnou a postačující podmínku konvergence této řady lze vyjádřit vztahem :\lim_{n \to \infty} R_n = \lim_{n \to \infty} (s-s_n)=0

Nutná a postačující podmínka konvergence bývá také vyjadřována ve formě Bolzanova-Cauchyova kritéria. Podle něj je nekonečná řada konvergentní právě tehdy, existuje-li k libovolnému \varepsilon>0 takové číslo N(\varepsilon), že pro libovolná m>N(\varepsilon), n>N(\varepsilon) platí :\left|s_m-s_n\right|

Přerovnání řady

Operace sčítání v \mathbb{C} je komutativní. Proto při sčítání konečného počtu čísel nezáleží na pořadí, v jakém jsou sčítány. +more Při nekonečně mnoha sčítancích tomu tak být nemusí.

Přerovnáním řady \sum a_n podle \phi \, se nazývá řada \sum a_{\phi(n)}, kde \phi \, je bijekce \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}.

Pokud je řada \sum a_n absolutně konvergentní, pak její každé přerovnání je také absolutně konvergentní řada a má stejný součet.

Riemannova věta

Je-li řada \sum a_n neabsolutně konvergentní reálná řada, pak ke každému s \in \overline{\mathbb{R}} existuje přerovnání \sum a_{\phi(n)}, jež má součet s \,. Rovněž existuje oscilující přerovnání \sum a_{\psi(n)}.

Důkaz: Označme K rozšířené reálné číslo rovné součtu kladných členů řady (je-li jich nekonečně mnoho, pak jej lze definovat jako součet řady s vynecháním nekladných členů nebo ekvivalentně jako supremum součtů konečných množin kladných členů). Podobně buď Z součet záporných členů řady.

Pak jsou jen tři možnosti:

a) K i Z jsou konečné, pak řada v každém přerovnání konverguje k číslu K+Z.

b) přesně jedno z nich je konečné, pak řada v každém přerovnání diverguje k tomu z nich, které je nekonečné

c) Obě jsou nekonečná. Potom přerovnání konvergující k číslu s sestrojíme tak, že nejprve budeme nejdříve vkládat kladné čeny (počínaje největšími), dokud posloupnost částečných součtů (známe-li prvních n prvků vytvářeného přerovnání, známe i prvních n částečných součtů) nepřesáhne s. +more Poté budeme vkládat záporné členy (počínaje těmi, které jsou v absolutní hodnotě největší), dokud posloupnost částečných součtů neklesne pod s. Tento postup opakujeme donekonečna. Pokud řada obsahuje nulové členy, pak při každé "změně směru" vložíme jeden, dokud všechny nevyčerpáme. Tento postup lze formalizovat pomocí věty o definici rekurzí.

Jelikož K i Z jsou nekonečné, neexistuje žádný index n_0\,\. , za nímž by již nedošlo ke změně směru. +more Z toho též plyne, že všechny členy původní řady budou vyčerpány, jedná se tedy skutečně o přerovnání.

Zbývá ukázat, že posloupnost částečných součtů konverguje k s. Pro libovolné ε>0 z definice konvergence existuje index n_1\,\. +more takový, že všechny členy původní řady, které jsou v absolutní hodnotě větší, než ε, jsou v novém přerovnání vyčerpány před n_1\,\. Označme n_2\,\. nejbližší další index, kde došlo ke změně směru. Od tohoto indexu leží všechny částečné součty v intervalu (s-ε, s+ε), neboť jakmile je hodnota s překročena, dojde ihned ke změně směru. Přerovnaná řada tedy konverguje k s.

Oscilující řady lze zkonstruovat podobně, přičemž přesáhne-li částečný součet číslo 1, přidáváme záporné členy, dokud částečný součet neklesne pod -1, pak přidáváme kladné.

Násobení řad

Pro absolutně konvergentní řady \sum_{n=1}^\infty a_n a \sum_{n=1}^\infty b_n platí: :\left(\sum_{n=1}^\infty a_n\right)\left(\sum_{n=1}^\infty b_n\right) = \sum_{n=2}^\infty {\sum_{k=1}^{n-1} {a_k b_{n-k}}}

Césarovské součty

Částečné součty: s_k:=\sum_{n=1}^k a_k

Označme: \sigma_n:=\frac{s_1+s_2+...+s_n}{n}

Řekneme, že řada je Césarovsky sumovatelná, pokud existuje lim_{n->\infty}\sigma_n

Řadu označíme symbolem (C,1) pokud lim_{n->\infty}\sigma_n=\sum_{k=1}^\infty a_k

Některé významné řady

Geometrická řada je taková řada, v níž je každý následující prvek konstantním násobkem předchozího prvku. Například :1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}= 2. +more Obecně lze říci, že geometrická řada \sum_{n=0}^\infty z^n konverguje právě tehdy, je-li |z| . * Aritmetická řada je řada, v níž každý následující prvek je zvětšen o konstantní hodnotu. Např. :1 + 3 + 5 + 7 + . = \sum_{n=1}^\infty \left[1 + 2(n-1)\right]=\infty. * Harmonická řada je řada tvaru :1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \infty Ačkoli je splněna nutná podmínka pro konvergenci řady, tj. \lim_{n \to \infty} a_n=0, je součet této řady roven nekonečnu, tedy řada diverguje. Nazývá se harmonická, protože každý člen, kromě prvního, je harmonickým průměrem sousedních členů. * Řada s kladnými členy je taková řada \sum a_n, jejíž všechny členy vyhovují podmínce a_n>0 \,. Řada s kladnými členy má vždy součet. * Alternující řada je řada, jejíž členy pravidelně střídají znaménka. Jde tedy o řadu \sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^\infty {(-1)}^{n+1}\left|a_n\right|.

* Teleskopická řada * Mocninné řady

Odkazy

Reference

Související články

asymptotická řada * Laurentova řada * mocninná řada * posloupnost * Riemannova věta * Taylorova řada

Externí odkazy

* Kategorie:Nekonečno Kategorie:Matematická analýza