Cesko.wiki Arkus kosinus
Author
Albert FloresGrafy funkcí arkus sinus a arkus kosinus
Arkus kosinus je jedna z cyklometrických funkcí, inverzní funkce k funkci kosinus. Obvykle se značí \arccos x, v anglické literatuře se taktéž používá \operatorname{acos\,} x či \cos^{-1} x. +more Její hodnotou je úhel v obloukové míře (radiány) z intervalu \langle 0,\pi \rangle, jehož kosinus je x.
Definice
Funkce y=\arccos x je inverzní k funkci x=\cos y\;\left(0\leq y \leq \pi\right); je definována pro x \in \langle -1,1 \rangle .
Vlastnosti
| Značení: | y=\arccos x\;\; \qquad \left(\;\mbox{resp. }\quad \operatorname{acos\, }x, \quad \cos^{-1} x\;\right) |
|---|---|
| Definiční obor | \langle -1,1 \rangle |
| Obor hodnot | \langle 0, \pi \rangle |
| Omezenost | Je omezená |
| Monotonie | Je ryze klesající \quad\Longrightarrow\quad je prostá |
| Symetrie | Není lichá ani sudá, ale graf je souměrný podle středu (x, y) = \left(0, \tfrac{\pi}{2}\right) |
| Periodicita | Není periodická |
| Limity | \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\pi}{2}-\arccos x}{x} = 1 \quad tj. +more v okolí nuly je \mbox{arccos }x \approx \left(\frac{\pi}{2}-x\right) |
| Inverzní funkce | x = \cos y (kosinus) |
| Derivace | (\arccos x)' = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} |
| Integrál | \int \arccos x \,\mathrm{d}x = x\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C |
| Taylorova řada | \arccos x = \frac{\pi}{2} -x - \frac{1}{2} \frac{x^3}{3} - \frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\frac{x^5}{5} - \frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4 \cdot 6} \frac{x^7}{7}- \dots\qquad |x |
| Významné hodnoty | \begin{array}{c|ccc} x & -1 & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 &\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ \hline \arccos x & \pi & \frac{5\pi}{6} & \frac{3\pi}{4} & \frac{2\pi}{3} & \frac{\pi}{2} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{6} & 0 \end{array} |
Vzorce
: \begin{array}{lcll} \arcsin x + \arccos x & = & \frac{\pi}{2} \\ \arccos x + \arccos (-x) & = & \pi \\ \arccos x + \arccos y &=& \left\{ \begin{array}{rl} \arccos \left(xy - \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right), & x+y \geq 0 \\ 2\pi - \arccos \left(xy - \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right), &x+y
: \begin{array}{lcll} \arccos (\cos x) & = & x, & 0\leq x \leq \pi \\ \cos (\arccos x) & = & x \end{array}
: \arccos x = \int_x^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1-t^2}}, \quad 0
: \arccos x = \frac{\pi}{2} - \frac{x\, \sqrt{1-x^2}} {1 - \displaystyle \frac{1\cdot 2 \cdot x^2} {3 - \displaystyle \frac{1\cdot 2 \cdot x^2} {5 - \displaystyle \frac{3\cdot 4 \cdot x^2} {7 - \displaystyle \frac{3\cdot 4 \cdot x^2} {9- \displaystyle \frac{5\cdot 6 \cdot x^2} {11 - \dots } }}}}}, \quad |x|
Příklad použití
Mějme goniometrickou rovnici:
::: \begin{array}{rcl} 2\cos x & = & 1 \\ \hline \cos x & = & \frac{1}{2} \\ x & = & \arccos \frac{1}{2} \\ \hline x & = & \frac{\pi}{3} \end{array}
S ohledem na periodicitu funkce \cos x jsou řešením původní rovnice také hodnoty:
:: \begin{array}{rrrrrrrlr} \dots, & {\color{OliveGreen}{\frac{-11\pi}{3}}}, & {\color{OliveGreen}{\frac{ -5\pi}{3}}}, & \mathbf{\frac{\boldsymbol{\pi}}{3}}, & {\color{OliveGreen}{\frac{ 7\pi}{3}}}, & {\color{OliveGreen}{\frac{ 13\pi}{3}}}, & \dots & \qquad \mbox{tj. } \quad \color{OliveGreen}{x_{k}=}&\color{OliveGreen}{\frac{\pi}{3}+2k\pi},\; k\in\Z \\ \dots, & {\color{BrickRed}{\frac{-13\pi}{3}}}, & {\color{BrickRed}{\frac{ -7\pi}{3}}}, & {\color{BrickRed}{\frac{ -\pi}{3}}}, & {\color{BrickRed}{\frac{ 5\pi}{3}}}, & {\color{BrickRed}{\frac{ 11\pi}{3}}}, & \dots & \qquad \mbox{tj. +more} \quad \color{BrickRed}{x_{k}=}&\color{BrickRed}{-\frac{\pi}{3}+2k\pi},\; k\in\Z \end{array}.
Graf
Vznikne překlopením grafu funkce y = \cos(x) podle osy I. a III. kvadrantu. Graf funkce arkus kosinus
Odkazy
Reference
Externí odkazy
BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 3., rev. vyd. Přeložil Zdeněk TICHÝ. Praha: Mladá fronta, 1996. .