Periodická funkce

Periodická funkce s periodou P Jedna perioda funkce sinus a kosinus Jednoduché periodické funkce Periodická funkce je v matematice funkce, jejíž hodnoty se pravidelně opakují s určitou periodou. Nejdůležitější periodické funkce jsou trigonometrické funkce (sinus, kosinus atd.), jejichž periodou je 2π. Graf periodické funkce se také opakuje a lze jej sestrojit kopírováním jedné periody na ose x.

Periodické funkce se užívají ve fyzice i v technice k popisu vlnových dějů, oscilací, cyklů a mnoha dalších pravidelných dějů. Nezávislou proměnnou bývá čas. +more Rozdíl mezi minimem a maximem periodické funkce se nazývá amplituda a převrácená hodnota periody je frekvence.

Funkce, které nejsou periodické, se nazývají aperiodické.

Definice

Přesněji můžeme říci, že funkce f je periodická s periodou P, jestliže

: f(x + P) = f(x)

pro všechny hodnoty x v definiční oblasti f. Pro všechna celá čísla n také platí

: f( x + nP ) = f ( x ).

Jednoduchým příkladem je funkce, jejíž hodnota je desetinná část argumentu, takže například

: f( 0.5 ) = f( 1.5 ) = f( 2.5 ) = ... = 0.5.

Perioda funkce je rovna 1 a f( x ) = f( x + 1 ) = f( x + 2 ) = ....

Nejmenší kladné číslo P, které je periodou periodické funkce, označujeme jako primitivní perioda. Průběh periodické funkce je v každém intervalu \langle n P, (n+1) P \rangle stejný.

Obecná definice

Nechť E je množina s interní operací +. Potom P-periodickou funkcí nebo periodickou funkcí s periodou P na E je funkce f na E taková, že

: \forall x \in E: f(x + P) = f(x).

Poznamenejme, že ačkoliv se předpokládá, že + je komutativní, v této definici píšeme P napravo.

Funkce, jejichž definičním oborem jsou komplexní čísla, mohou mít dvě nesouměřitelné periody, aniž by se jednalo o konstantní funkce. Takovými funkcemi jsou např. +more eliptické funkce. („Nesouměřitelnost“ zde znamená, že jedna z period není celočíselným násobkem druhé. ).

Periodické řady

Některé přirozeně se vyskytující řady jsou periodické, například desetinný rozklad libovolného racionálního čísla (viz periodický rozvoj). Můžeme proto mluvit o periodě nebo délce periody řady. +more Jedná se tedy o speciální případ obecné definice.

Základem Fourierových řad je myšlenka, že libovolná periodická funkce je součtem trigonometrických funkcí s periodami P, 2P, 3P atd.

Translační symetrie

Jestliže se k popisu nějakého objektu použije funkce, např. nekonečný obraz může být popsán barvou jako funkcí pozice, odpovídá periodicita této funkce translační symetrii objektu.

Související články

Harmonická funkce * Amplituda * Frekvence * Oscilace * Vlnová délka

Kategorie:Vlastnosti matematických funkcí