Kosinová věta

Úhly v \triangle ABC - (u vrcholu ), (u vrcholu ), a (u vrcholu ) jsou proti stranám, .

V trigonometrii je kosinová věta tvrzení o rovinných trojúhelnících, které umožňuje spočítat úhel v trojúhelníku na základě znalosti délek všech jeho tří stran. Podle kosinové věty pro každý rovinný \triangle ABC s vnitřními úhly \alpha, \beta, \gamma a stranami a, b, c platí:

\begin{align} a^2 & = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha \\ b^2 & = c^2 + a^2 - 2 c a \cdot \cos \beta \\ c^2 & = a^2 + b^2 - 2 a b \cdot \cos \gamma \end{align}

Speciálním případem kosinové věty je Pythagorova věta, která však platí pouze pro pravoúhlý trojúhelník. Protože pro pravý úhel je \cos 90^{\circ} = 0, tak je třetí člen na pravé straně rovnice nulový a z kosinové věty zbyde jen zkrácený zápis odpovídající Pythagorově větě: c^2 = a^2 + b^2 (a podobně pro zbývající dvě varianty, kde je pravý úhel u jiného vrcholu). +more Alternativní větou pro obecný trojúhelník je sinová věta.

Kosinovou věta je používána k výpočtu vnitřních úhlů obecného trojúhelníku, jestliže jsou známy délky stran a, b, c nebo pro výpočet, kdy jsou známy dvě strany a úhel, který svírají.

Historie

Ačkoliv v Eukleidově době ještě nebyl znám pojem kosinus, popisují jeho Základy ze +more_n. _l. '>3. století př. n. l. ranou geometrickou větu, která je téměř ekvivalentní zde popisované kosinové větě. Varianty pro tupoúhlé a ostroúhlé trojúhelníky (odpovídající zápornému a kladnému výsledku funkce kosinus) jsou řešeny samostatně v Knize druhé v částech Úloha XII a XIII. Protože goniometrické funkce a algebra (zejména záporná čísla) v Eukleidově době ještě neexistovaly, jsou tato tvrzení založena na geometrických vztazích:.

Výše citované Eukleidovo tvrzení lze zapsat pro tupoúhlý \triangle ABC jež má tupý úhel \angle BAC a z vrcholu B je vedena kolmice CD na prodlouženou stranu BA, takto:

:|BC|^2 = |BA|^2 + |AC|^2 + 2|BA||AD|

Eukleidovy Základy připravily cestu k pozdějšímu objevu kosinové věty. V +more_století'>15. století uvedl perský matematik a astronom Jamshid al-Kashi první znění kosinové věty ve formě vhodné pro moderní použití při triangulaci, k čemuž poskytl i přesné trigonometrické tabulky. V roce 2020 je ve Francii kosinová věta stále označována jako Formule d'Al-Kashi.

V západním světě zpopularizoval kosinovou větu v 16. +more století francouzský matematik François Viète. Na počátku 19. století umožnila moderní algebraická notace zapsat kosinovou větu v její současné symbolické podobě.

Důkaz

Tvrzení kosinové věty lze snadno dokázat pomocí skalárního součinu.

Elementární důkaz se opírá o Pythagorovu větu a goniometrické funkce sinus a kosinus. Výpočet strany a trojúhelníku A B C je vhodné rozdělit podle velikosti daného úhlu \alpha (ostrý, pravý a tupý):

* Je-li \alpha ostrý a bod P patou výšky v_c, pak bod P náleží straně c (pokud ne, prohodíme označení bodů B a C). Vzdálenost paty P od bodu A označíme u. +more Pak podle Pythagorovy věty je : a^2 = v_c^2 + (c-u)^2. : Protože dále platí, že u = b \cos \alpha a v_c = b \sin \alpha, lze psát : a^2 = (b \cdot \sin \alpha)^2 + (c - b \cdot \cos \alpha)^2 : a^2 = b^2 \cdot \sin^2 \alpha + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha + b^2 \cdot \cos^2 \alpha : a^2 = b^2 (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha : a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha.

* Je-li \alpha pravý, pak podle Pythagorovy věty je :a^2 = b^2 + c^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha : Protože je \alpha = \pi/2, je \cos \alpha = 0, a pak : a^2 = b^2 + c^2 - 0, pak tedy : a^2 = b^2 + c^2

* Je-li \alpha tupý a bod P patou výšky v_c, pak bod P leží mimo c. Vzdálenost paty P od bodu A označíme u. +more Pak podle Pythagorovy věty je : a^2 = v_c^2 + (c+u)^2. : Protože dále platí, že u = b \cos (\pi - \alpha) a v_c = b \sin (\pi - \alpha) a dále \cos (\pi - \alpha) = -\cos \alpha a \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha lze psát : a^2 = (b \cdot \sin \alpha)^2 + (- b \cdot \cos \alpha + c)^2. : Což je totéž, jako v případě, že je úhel \alpha ostrý a tedy : a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha.

Kosinová věta ve sférickém trojúhelníku

Ve sférickém trojúhelníku platí kosinová věta v této podobě:

\begin{align} \cos a & = \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos \alpha \\ \cos b & = \cos a \cos c + \sin a \sin c \cos \beta \\ \cos c & = \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos \gamma \end{align}

Ortodroma Tato podoba sférické kosinové věty se užívá v matematickém zeměpisu pro výpočet délky ortodromy („vzdušné“ vzdálenosti dvou míst na zemském povrchu):

\begin{align} \cos e & = \cos (90^\circ - \phi_1) \cos (90^\circ - \phi_2) + \sin (90^\circ - \phi_1) \sin (90^\circ - \phi_2) \cos\Delta\lambda\\ & = \sin\phi_1 \sin\phi_2 + \cos\phi_1 \cos\phi_2 \cos\Delta\lambda \end{align}

kde * \phi_1, \phi_2 jsou zeměpisné šířky poměřovaných míst * \Delta\lambda je rozdíl zeměpisných délek poměřovaných míst * e je ortodroma jako úhel svíraný poměrovanými místy se středem Země

Délku ortodromy pak lze vypočíst jako d = e \cdot r, je-li e v úhlové míře, resp. d = \frac{2\pi e}{360} \cdot r, je-li e ve stupních.

Související články

Kosinus * Sinová věta * Tangentová věta * Pythagorova věta * Goniometrie * Sférická trigonometrie * Kosinová pravidla

Odkazy

Reference

Související články

Sinová věta * Tangentová věta * Pythagorova věta * Goniometrie * Triangulace

Externí odkazy

Kategorie:Goniometrie Kategorie:Matematické věty a důkazy Kategorie:Trojúhelník