Kosinová věta

Technology

12 hours ago

Author

Trojúhelník ABC V trigonometrii je kosinová věta tvrzení o rovinných trojúhelnících, které umožňuje spočítat úhel v trojúhelníku na základě znalosti délek všech jeho tří stran.

Pro každý rovinný trojúhelník ABC s vnitřními úhly \alpha, \beta, \gamma a stranami a, b, c platí:

\begin{align} a^2 & = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha \\ b^2 & = c^2 + a^2 - 2 c a \cdot \cos \beta \\ c^2 & = a^2 + b^2 - 2 a b \cdot \cos \gamma \end{align}

Speciálním případem kosinové věty pro pravoúhlý trojúhelník (tj. úhel γ pravý) je Pythagorova věta: pak \cos \gamma = 0 a tudíž c^2 = a^2 + b^2.

Větu lze mimo jiné použít k určení délky strany trojúhelníku v případě, že jsou dány délky obou zbývajících stran trojúhelníku včetně úhlu, který svírají. Nebo k výpočtu vnitřních úhlů trojúhelníku, jestliže jsou známy délky stran a, b, c

Důkaz

Tvrzení kosinové věty lze snadno dokázat pomocí skalárního součinu.

Elementární důkaz se opírá o Pythagorovu větu a goniometrické funkce sinus a kosinus. Výpočet strany a trojúhelníku ABC je vhodné rozdělit podle velikosti daného úhlu \alpha (ostrý, pravý a tupý):

* Je-li \alpha ostrý a bod P patou výšky v_c, pak bod P náleží straně c (pokud ne, prohodíme označení bodů B a C). Vzdálenost paty P od bodu A označíme u. +more Pak podle Pythagorovy věty je : a^2 = v_c^2 + (c-u)^2. : Protože dále platí, že u = b \cos \alpha a v_c = b \sin \alpha, lze psát : a^2 = (b \cdot \sin \alpha)^2 + (c - b \cdot \cos \alpha)^2 : a^2 = b^2 \cdot \sin^2 \alpha + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha + b^2 \cdot \cos^2 \alpha : a^2 = b^2 (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha : a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha.

* Je-li \alpha pravý, pak podle Pythagorovy věty je :a^2 = b^2 + c^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha : Protože je \alpha = \pi/2, je \cos \alpha = 0, a pak : a^2 = b^2 + c^2 - 0, pak tedy : a^2 = b^2 + c^2

* Je-li \alpha tupý a bod P patou výšky v_c, pak bod P leží mimo c. Vzdálenost paty P od bodu A označíme u. +more Pak podle Pythagorovy věty je : a^2 = v_c^2 + (c+u)^2. : Protože dále platí, že u = b \cos (\pi - \alpha) a v_c = b \sin (\pi - \alpha) a dále \cos (\pi - \alpha) = -\cos \alpha a \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha lze psát : a^2 = (b \cdot \sin \alpha)^2 + (- b \cdot \cos \alpha + c)^2. : Což je totéž, jako v případě, že je úhel \alpha ostrý a tedy : a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha.

Kosinová věta ve sférickém trojúhelníku

Ve sférickém trojúhelníku platí kosinová věta v této podobě:

\begin{align} \cos a & = \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos \alpha \\ \cos b & = \cos a \cos c + \sin a \sin c \cos \beta \\ \cos c & = \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos \gamma \end{align}

Ortodroma Tato podoba sférické kosinové věty se užívá v matematickém zeměpisu pro výpočet délky ortodromy („vzdušné“ vzdálenosti dvou míst na zemském povrchu):

\begin{align} \cos e & = \cos (90^\circ - \phi_1) \cos (90^\circ - \phi_2) + \sin (90^\circ - \phi_1) \sin (90^\circ - \phi_2) \cos\Delta\lambda\\ & = \sin\phi_1 \sin\phi_2 + \cos\phi_1 \cos\phi_2 \cos\Delta\lambda \end{align}

kde * \phi_1, \phi_2 jsou zeměpisné šířky poměřovaných míst * \Delta\lambda je rozdíl zeměpisných délek poměřovaných míst * e je ortodroma jako úhel svíraný poměrovanými místy se středem Země

Délku ortodromy pak lze vypočíst jako d = e \cdot r, je-li e v úhlové míře, resp. d = \frac{2\pi e}{360} \cdot r, je-li e ve stupních.