Ortodroma

Ortodroma - nejkratší spojnice dvou bodů na kulové ploše.Ortodroma (řecky orthos - přímý, dromos - cesta) je nejkratší spojnice dvou bodů na kulové ploše (např. povrchu Země). Tvoří ji kratší oblouk hlavní kružnice (její střed splývá se středem Země). V gnómonické projekci se ortodroma zobrazuje jako přímka.

Ortodroma je sice nejkratší spojnicí dvou bodů, v navigaci je ale výhodnější použít loxodromu. Její dráha totiž udržuje stále stejný úhel s poledníkem (azimut), na rozdíl od ortodromy, u které se azimut obecně spojitě mění.

Délky ortodromy

Určení délky ortodromy vychází ze sférické trigonometrie. Označme [\varphi_1; \lambda_1]\, a [\varphi_2; \lambda_2]\, souřadnice krajních bodů ortodromy a \sigma\, její středový úhel. +more Středový úhel pak můžeme ze sférické kosinové věty pro strany vyjádřit jako:.

:\sigma= \arccos\left[\cos(90^\circ-\varphi_2)\cos(90^\circ-\varphi_1)+\sin(90^\circ-\varphi_2)\sin(90^\circ-\varphi_1)\cos(\lambda_2 - \lambda_1)\right)

Délka oblouku mezi body A a B (označíme jako d) se pak spočítá jako:

: d= \mathbf \sigma\cdot\mathbf r kde středový úhel \sigma\, musíme dosadit v radiánech. Pro dosazení ve stupních by platilo: : d= \frac{2\pi}{360} \cdot\mathbf \sigma\cdot\mathbf r

Azimut ortodromy

Azimut ortodromy se průběžně mění. Důležitý je zejména výchozí azimut \alpha\,. Ze sinové věty pro sférický trojúhelník pro něj dostaneme

\sin \alpha = \frac{\cos \varphi_2}{\sin \sigma} \sin (\lambda_2 -\lambda_1),

kde \sigma\, je dříve vypočtená délka ortodromy.

Obě strany rovnice vydělíme \cos \alpha a po aplikaci sinuskosinové věty dostáváme:

\mbox{tg } \alpha = \frac{\cos \varphi_2 \cdot\sin (\lambda_2 -\lambda_1)}{\sin\varphi_2\cdot\cos\varphi_1 - \sin\varphi_1\cdot\cos\varphi_2\cdot\cos (\lambda_2 -\lambda_1)}

Vztah mezi ortodromou a loxodromou

délka loxodromy mezi dvěma body je vždy větší nebo rovna délce ortodromy * loxodroma a ortodroma jsou stejně dlouhé, pokud oba zvolené body leží na rovníku nebo pokud je azimut roven velikosti 0° či 180° (tedy loxodroma odpovídá poledníku) * největší rozdíl mezi délkami ortodromy a loxodromy nastává ve chvíli, kdy zvolené body leží na stejné rovnoběžce (kromě rovníku) a azimut je tedy roven 90° nebo 270° * na severní polokouli je loxodroma jižněji než ortodroma, na jižní polokouli je tomu naopak

Externí odkazy

[url=https://web.archive.org/web/20050905233133/http://www.zemepis.com/ortodroma.php]Výpočet ortodromy[/url]

Kategorie:Kartografie Kategorie:Prostorové křivky Kategorie:Goniometrie