Loxodroma

Příklad loxodromy na povrchu Země Loxodroma je křivka na referenční ploše (např. na sférickém povrchu Země), která protíná všechny poledníky pod stejným úhlem.

V úhlojevných mapách Země v Mercatorově zobrazení mají loxodromy charakter přímek. Mapu světa, sestrojenou v tomto zobrazení, uveřejnil v roce 1569 Gerhard Mercator (1512-1594). +more Název „loxodroma“ pochází od nizozemského učence Willebrorda Snellia (1581-1626).

Přestože loxodroma není nejkratší spojnicí dvou míst na referenční ploše, byly loxodromické cesty v minulosti využívány při námořní plavbě. Pro svou jednoduchost jsou loxodromické cesty používány i dnes v námořní a v letecké navigaci. +more Loxodromická cesta se shoduje s ortodromickou pouze ve směru po polednících a ve směru po rovníku. V tom případě je loxodroma nejkratší spojnicí dvou míst na referenční ploše. Do vzdálenosti 800-1000 km je rozdíl mezi loxodromou a ortodromou zanedbatelný.

V dnešní době díky rozvoji moderní navigační techniky (GPS apod.) význam loxodromy klesá.

Matematický popis

Budeme uvažovat dva body na sféře poloměru R, jejichž poloha je udána ve sférických souřadnicích. Našim cílem bude najít azimut loxodromy (ten je dle definice pro celou křivku stejný) a délku této křivky. +more Sférické souřadnice označme \vartheta a \varphi, přičemž první z nich je zeměpisná šířka, druhá délka. Rovníku tedy odpovídá \vartheta = 0.

Odvození azimutu

Je zřejmé, že délka malého elementu ve směru jih-sever je R\,{\mathrm d}\vartheta, zatím co ve směru západ-východ R\cos \vartheta \,{\mathrm d}\varphi. Azimut (úhel vůči severu) \alpha je pak tedy dán takto:

\operatorname{tg}\, \alpha = \frac{R\cos \vartheta \,{\mathrm d}\varphi}{R \,{\mathrm d}\vartheta}

Tento vztah upravíme na tvar vhodný k integraci

{\mathrm d}\varphi = \frac{\operatorname{tg}\, \alpha}{\cos \vartheta} \,{\mathrm d}\vartheta.

Přitom dle definice loxodromy je \alpha konstantní. Integrováním od \vartheta_1 do \vartheta_2 získáme změnu \varphi mezi těmito body. +more Přitom předpokládáme, že \vartheta_1 \ne \vartheta_2.

\varphi_2 - \varphi_1 = \operatorname{tg}\, \alpha (\operatorname{arctgh}\, \sin \vartheta_2 - \operatorname{arctgh}\, \sin \vartheta_1)

Byl tedy získán vztah pro azimut loxodromy:

\operatorname{tg}\,\alpha = \frac{\varphi_2 - \varphi_1}{ \operatorname{arctgh}\, \sin \vartheta_2 - \operatorname{arctgh}\, \sin \vartheta_1}

Poznamenejme, že transformační vztahy pro Mercatorovo zobrazení jsou:

x=R\, \varphi

y=R\, \operatorname{arctgh}\, \sin \vartheta

Spojíme-li na mapě dva body pravítkem, pak zřejmě jejich spojnice má na mapě azimut

\operatorname{tg}\,\alpha = \frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1},

což je přesně stejná hodnota, jaká byla odvozena předchozím výpočtem. Loxodromy jsou tedy opravdu na mapách s touto projekcí přímky. +more Můžeme uvažovat i obráceně a předchozí výpočet považovat za odvození Mercatorovy projekce, tedy projekce, kde jsou loxodromy přímky.

Délka loxodromy

Nyní ještě určíme její délku. Vyjdeme přitom z Pythagorovy věty, kterou určíme délku výsledného elementu dráhy, když došlo k pohybu jak ve směru jih-sever, tak západ-východ.

{\mathrm d}s = R\sqrt{{\mathrm d}\vartheta^2 + \cos^2 \vartheta {\mathrm d}\varphi^2}

Dosadíme-li za \cos \vartheta \,{\mathrm d}\varphi z předem odvozeného vztahu pro azimut, dostaneme:

{\mathrm d}s = R\sqrt{{\mathrm d}\vartheta^2 + \tan^2 \alpha \,{\mathrm d}\vartheta^2} = R \frac

{\mathrm d}\vartheta

[wiki_table=cbce0dab]

Integrace je tedy triviální. Délka loxodromy je

s=R \frac

\vartheta_2 - \vartheta_1

[wiki_table=19a67eaa],

kde za azimut \alpha dosadíme z předem odvozeného vztahu

Odkazy

Reference

Externí odkazy

[url=https://web.archive.org/web/20180221193635/http://old.gis.zcu.cz/studium/mk2/multimedialni_texty/index_soubory/hlavni_soubory/zaklady.html#Loxodroma]Loxodroma[/url] na gis.zcu.cz

Kategorie:Kartografie Kategorie:Prostorové křivky Kategorie:Goniometrie