Mercatorovo zobrazení

Technology

12 hours ago

Author

Albert Flores

Mercatorovo zobrazení světa po 86. stupeň severní a jižní zeměpisné šířky Tissotova indikatrix (pomůcka znázorňující plošné a délkové zkreslení) Mercatorova zobrazení Určení parametrů v rovnicích koule: parametr u odpovídá projekci průvodiče r do roviny os x a y, parametr v odpovídá úhlu \phi a úhel \omega představuje úhel \theta. Mercatorovo zobrazení je druh úhlojevného válcového mapového zobrazení, které navrhl roku 1569 vlámský kartograf Gerhard Mercator (1512 - 1594). Používá se zejména na námořních a leteckých navigačních mapách.

Charakteristika a použití

Základem zobrazení je válec v normální poloze (tj. jeho osa je shodná se zemskou osou), dotýkající se glóbu na rovníku. +more Po zobrazení povrchu koule na válec a po rozvinutí pláště válce do roviny vznikne pravoúhlá síť poledníků a rovnoběžek. Poledníky jsou zobrazeny rovnoběžně v konstantních rozestupech, zatímco vzájemná vzdálenost rovnoběžek směrem k pólům narůstá do nekonečna. Protože se válec po celém obvodu rovníku glóbu dotýká, je zobrazení rovníku délkojevné. Totéž už neplatí o ostatních rovnoběžkách, které jsou znázorněny jako úsečky stejné délky - čím blíže k pólům, tím je tedy zkreslení v délce (a ploše) větší. Proto nelze Mercatorovo zobrazení vůbec použít při tvorbě map polárních oblastí a nehodí se ani pro severojižně protáhlá území ve vyšších zeměpisných šířkách. Naopak v rovníkových oblastech, přibližně mezi 15. stupněm severní a jižní zeměpisné šířky, je délková a plošná nepřesnost vcelku zanedbatelná.

Protože na Mercatorově mapě se loxodroma (čára protínající poledníky pod konstantním úhlem) jeví jako přímka, jsou takové mapy vhodné pro vytyčení a udržování stálého směru (azimutu) plavby či letu, a v dobách před zavedením družicové navigace byly téměř nepostradatelnou pomůckou. Naproti tomu se toto zobrazení kvůli extrémnímu zkreslení (zvětšení) polárních oblastí (a nemožnosti vůbec zobrazit póly) nehodí pro přehledné mapy světa. +more Pro představu: ostrov Grónsko (2,2 mil. km²) se jeví zhruba stejně velký jako Afrika (30,3 mil. km²). I přes tento nedostatek používají toto zobrazení mapové servery Mapy. cz a OpenStreetMap (do roku 2018 i Mapy Google), a to zejména pro jeho matematickou jednoduchost a univerzalitu. V dostatečném přiblížení je toto zobrazení navíc poměrně přesné (nezkresluje tvary). Jeho použití pro mapy světa je však kritizováno jako silně zkreslující a opticky zvyšující význam oblastí v mírném pásmu (většina vyspělého světa) na úkor oblastí tropických. Na druhou stranu, právě pro tyto vlastnosti si ho oblíbila sovětská (i protisovětská) propaganda, neboť Sovětský svaz či Rusko v tomto zobrazení vypadá relativně ještě mnohem větší (a tedy mocnější a hrozivější) než ve skutečnosti.

Matematický popis

Matematicky, jsou-li parametry (viz obr. ) u, v takové, že parametrické rovnice koule o poloměru r v nich nabývají tvaru x = u\cos{v}, y = u\sin{v}, z = \sqrt{r^2-u^2}, potom konformní zobrazení koule na rovinu, dané jako x = v, y = \int {\frac{1}{\sin{\omega}}} \,\mathrm{d}\omega = \ln \mbox{tg }\frac{\omega}{2} + c, kde x, y představují pravoúhlé souřadnice na rovině a \frac{u}{r} = \sin{\omega}, se nazývají Mercatorovým zobrazením. +more Toto zobrazení zobrazuje rovnoběžky, resp. poledníky na kouli do rovnoběžek s osou X, resp. Y na rovině. Koule je tedy zobrazena do (vertikálního) pásu v rovině, jehož šířka je 2\pi, s čímž souvisí zmiňované problémy se zkreslením v okolí pólů. Vzhledem k tomu, že jednomu bodu na kouli lze přiřadit nekonečně mnoho hodnot parametru v + 2k\pi, kde k je libovolné celé číslo, daný bod koule se zobrazuje do bodů na rovině, jejichž x-ové souřadnice se liší právě o 2k\pi. Takové zobrazení je tedy vzájemně jednoznačné (tj. jednomu bodu na kouli odpovídá přesně jeden bod v rovině) jen v dostatečně blízkém okolí zkoumaného bodu. Dvěma body a, b na kouli, které neleží na stejné rovnoběžce, prochází nekonečně mnoho loxodrom. Po zobrazení na rovinu těmto loxodromám odpovídají všechny přímky procházející všemi obrazy bodů a, b (obrazů je díky zmiňovaným posunům v x-ové ose také nekonečně mnoho), nebo přesněji úsečky vytínané těmito přímkami na pásu odpovídajícímu obrazu koule.

Převodní vztahy

Jsou-li známy souřadnice mapy x a y, přičemž počátek souřadnic na mapě odpovídá průsečíku nultého poledníku a rovníku, pak pro tyto souřadnice platí

x=R\varphi

y=R\operatorname{arctgh} \sin \vartheta,

kde \vartheta je zeměpisná šířka a \varphi zeměpisná délka.

Je-li naopak známa poloha objektu na mapě a určují se jeho souřadnice, pak platí:

\varphi = \frac{x}{R}

\vartheta = \arcsin \operatorname{tgh} \, \frac{y}{R}

Mapa je přitom v měřítku 1:1, R značí poloměr Země.

Jednou z velkých výhod tohoto zobrazení je, že lokálně zachovává tvary objektů. Rozměrové zkreslení je totiž v rovnoběžkovém i poledníkovém směru vždy stejné a je rovno

f=\frac{1}{\cos \vartheta}

Praktické důsledky

Například Česko je zobrazeno asi o 56 % procent větší, než kdyby leželo na rovníku. I v rámci relativně malého Česka je nezanedbatelný rozdíl ve zvětšení oblastí nejsevernějších (přes 58 %) a nejjižnějších (jen okolo 51 %).

Např. u severojižně protáhlého Norska, ležícího navíc ve vysoké zeměpisné šířce, už je rozdíl v míře zvětšení markantní - zatímco u jižních oblastí státu činí asi 100 % (tj. +more 2x větší), u nejsevernějších až 200 % (3x větší). Norské souostroví Svalbard je pak zvětšeno zhruba 5x. Ostrov Kréta na jihu Evropy je oproti tomu zvětšen jen asi o 22 %.

Relativně ještě větší rozdíl lze pozorovat u Chile, kde je v tomto zobrazení nejsevernější část území zvětšena pouze o 5 %, zatímco nejjižnější část (Ohňová země) až o 75 %. Jižní Amerika zde celkově působí mnohem protáhlejší a na jihu širší než ve skutečnosti. +more Poměrně málo zkreslenými kontinenty jsou Afrika a Austrálie, ale i zde je oproti optimalizovaným zobrazením patrné zvětšení oblastí ve vyšších šířkách.

U map světa v Mercatorově projekci má tedy jejich deklarované měřítko platnost pouze v blízkosti rovníku, směrem k pólům se podrobnost mapy zvyšuje podle výše uvedeného vzorce. Např. +more u mapy v rovníkovém měřítku 1 : 50 milionů se Česko zobrazí zhruba v měřítku 1 : 32 milionů a Svalbard cca 1 : 10 milionů.