Sinová věta

Technology

12 hours ago

Author

Trojúhelník ABC V trigonometrii je sinová věta důležité tvrzení o rovinných trojúhelnících. Nejčastěji zní takto:

Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí: :\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}. Neboli: „Poměr všech délek stran a hodnot sinů jim protilehlých úhlů je v trojúhelníku konstantní. +more“.

Zjednodušení sinové věty, aplikované na pravoúhlý trojúhelník je:

\sin(90)=1

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{1}

z čehož plyne:

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = c

----

Větu lze ovšem zformulovat také takto: :\frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} , či takto: \frac{b}{c} = \frac{\sin \beta}{\sin \gamma} , nebo takto: \frac{c}{a} = \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}, s významem: „Poměr délek stran trojúhelníku se rovná poměru sinů velikostí jim protilehlých úhlů.“

Věta se používá zejména v následujících dvou případech: * Jsou dány dva úhly trojúhelníku a délku jedné jeho strany a mají se dopočítat velikosti zbývajících stran. To je typická úloha při triangulaci. +more * Jsou známy délky dvou stran trojúhelníku a velikost vnitřního úhlu který nesvírají, a je třeba zjistit zbývající úhly. V tomto případě se ovšem stává, že věta poskytne dvojici řešení, z nichž však pouze jedno dává součet úhlů 180° a tedy umožní sestavit trojúhelník.

Důkaz věty

Mějme trojúhelník ABC. Bod P je pata výšky vc. +more Pak :\left|CP\right| = \left|AC\right|\cdot \sin \alpha = b \cdot \sin \alpha a zároveň :\left|CP\right| = \left|BC\right|\cdot \sin \beta = a \cdot \sin \beta. Pak tedy :a \cdot \sin \beta = b \cdot \sin \alpha, což je totéž jako :\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}. Ostatní rovnosti lze získat cyklickou záměnou stran.

Průměr kružnice opsané trojúhelníku

Konstantní poměr délky strany a sinu protilehlého úhlu je roven průměru kružnice trojúhelníku opsané: :\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2r. z čehož lze odvodit její poloměr :r=\frac{a}{2\cdot\sin \alpha} = \frac{b}{2\cdot\sin \beta} = \frac{c}{2\cdot\sin \gamma}.