Sinová věta

Sinová věta v trojúhelníku s barevně vyznačenými dvojicemi tvořícími sobě rovné poměry. opsané kružnice. Sinová věta popisuje v trigonometrii konstantní poměr délek stran a hodnot sinu jejich protilehlých vnitřních úhlů v obecném trojúhelníku. Podle sinové věty pro každý rovinný \triangle ABC s vnitřními úhly α, β, γ, stranami a, b, c a poloměrem r kružnice opsané (viz obrázky vpravo) platí:

:\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2r

Sinová věta je používána při triangulaci, kde umožňuje dopočítat délky zbývajících stran trojúhelníku, ve kterém je známá délka jedné strany a dvou úhlů. Alternativní větou pro obecný trojúhelník je kosinová věta.

Historie

Brazilský historik matematiky Ubiratàn D'Ambrosio a americká vědecká historička Helaine Selin tvrdí, že sférická sinová věta byla objevena v 10. +more století. Je připisována různým arabským učencům: Abu-Mahmud Chudžandi, Abu'l-Wafa, Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī a Abu Nasr Mansur.

Ibn Mu'adh al-Džajjani' napsal v 11. +more století knihu Kniha neznámých úhlů koule, která obsahuje obecnou sinovou větu. Sinovou větu v rovině představil ve 13. století perský učenec Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī. Ve svém díle Risālatun fī al-šakl al-qiṭā' wa al-nisbati al-mu'allafah, uvedl sinovou větu pro rovinné i sférické trojúhelníky a poskytl pro ni důkaz. LIBRARY OF CONGRESS. A Treatise on the Sector-Figure and the Composition of Ratios. Online. Library of Congress. 2010. Dostupné z:.

. [cit. 2024-02-13].

Historik Glen Van Brummelen uvedl, že v Evropě základy pro sinovou větu v pravoúhlém trojúhelníku položil německý matematik Regiomontanus v 15. +more století ve svazku Kniha IV, na čemž založil řešení v obecných trojúhelnících.

Příklady

Následující příklady ukazují, jak využít sinovou větu při výpočtech v obecném trojúhelníku (nemusí tedy být pravoúhlý jako v případě použití Pythagorovy věty). Sinovou větou lze řešit příklady, kde jsou zadány alespoň tři údaje: strana a dva úhly (výsledkem je jedno řešení) nebo dvě strany a jiný úhel než jimi sevřený (výsledkem mohou být dvě řešení). +more Tyto výpočty jsou používány při tzv. triangulaci. Pro jiná zadání je možné použít kosinovou větu.

Příklad 1

Zadání: V obecném trojúhelníku je strana , úhel a úhel . Jaká je velikost strany ?

Řešení: Podle sinové věty platí, že:

:\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} Do rovnice dosadíme známé hodnoty: :\frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{10}{\sin 45^\circ} Z rovnice vyjádříme a na levé straně rovnice: : a = \frac{10}{\sin 45^\circ} \cdot \sin 30^\circ Výsledek je: : a = 7

Příklad 2

Zadání: V obecném trojúhelníku je strana , strana , úhel . Jaká je velikost úhlu ?

Řešení: Podle sinové věty platí, že:

:\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} Do rovnice dosadíme známé hodnoty: :\frac{18}{\sin 30^\circ} = \frac{25}{\sin \gamma} Rovnice vynásobíme oběma jmenovateli: : 18 \cdot {\sin \gamma} = 25 \cdot {\sin 30^\circ} Upravíme: : \sin \gamma = \frac{25 \cdot \sin 30^\circ}{18} Vyjádříme α: : \gamma = \arcsin (\frac{25 \cdot \sin 30^\circ}{18}) Výsledek je: : \gamma = 44^\circ nebo \gamma = 136^\circ

Důkaz věty

Tento obrázek zobrazuje trojúhelník vepsaný do kruhu. Vrcholy trojúhelníku jsou označeny jako A, B a C a kruh je vystředěn v bodě D.

Pomocí definice funkce sinus

Mějme trojúhelník ABC. Bod P je pata výšky vc. +more Pak za použití funkce sinus a stran CP, AC a úhlu α (tj. úhel CAP) platí: :\left|CP\right| = \left|AC\right|\cdot \sin \alpha = b \cdot \sin \alpha A zároveň platí: :\left|CP\right| = \left|BC\right|\cdot \sin \beta = a \cdot \sin \beta Z předchozích dvou rovnic tedy platí: :a \cdot \sin \beta = b \cdot \sin \alpha Což lze zapsat také jako: :\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} Ostatní rovnosti uváděné v sinové větě lze získat cyklickou záměnou stran.

Pomocí plochy

Plochu S libovolného trojúhelníku lze zapsat jako součin poloviny jeho základny krát výška trojúhelníku. Vybereme-li jednu stranu trojúhelníku jako základnu, výška trojúhelníku vzhledem k této základně se vypočítá jako délka další strany krát sinus úhlu mezi vybranou stranou a základnou. +more V závislosti na výběru základny lze tedy obsah trojúhelníku zapsat jako kterýkoli navzájem si rovných výrazů:.

S = \frac{1}{2} b \left(c \sin{\alpha}\right) = \frac{1}{2} c \left(a \sin{\beta}\right) = \frac{1}{2} a \left(b \sin{\gamma}\right)

Vynásobením předchozí rovnosti výrazem \frac{2}{abc} dostaneme:

\frac{2S}{abc} = \frac{\sin{\alpha}}{a} = \frac{\sin{\beta}}{b} = \frac{\sin{\gamma}}{c}, což lze zapsat i jako převrácené hodnoty: \frac{abc}{2S} = \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}}

Souvislosti

Zjednodušení sinové věty, aplikované na pravoúhlý trojúhelník je:

\sin(90)=1

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{1}

z čehož plyne:

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = c

Sinovou větu lze ovšem zformulovat také takto: :\frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} , či takto: \frac{b}{c} = \frac{\sin \beta}{\sin \gamma} , nebo takto: \frac{c}{a} = \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}, s významem: „Poměr délek stran trojúhelníku se rovná poměru sinů velikostí jim protilehlých úhlů.“

Věta se používá zejména v následujících dvou případech: * Jsou dány dva úhly trojúhelníku a délku jedné jeho strany a mají se dopočítat velikosti zbývajících stran. To je typická úloha při triangulaci. +more * Jsou známy délky dvou stran trojúhelníku a velikost vnitřního úhlu který nesvírají, a je třeba zjistit zbývající úhly. V tomto případě se ovšem stává, že věta poskytne dvojici řešení, z nichž však pouze jedno dává součet úhlů 180° a tedy umožní sestavit trojúhelník.

Průměr kružnice opsané trojúhelníku

Poměr vyjádřený sinovou větou je roven průměru kružnice opsané tomuto trojúhelníku: :\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2r Z toho lze odvodit poloměr kružnice opsané: :r=\frac{a}{2\cdot\sin \alpha} = \frac{b}{2\cdot\sin \beta} = \frac{c}{2\cdot\sin \gamma}

Odkazy

Reference

Související články

Kosinová věta * Tangentová věta * Pythagorova věta * Goniometrie * Triangulace

Externí odkazy

Kategorie:Goniometrie Kategorie:Matematické věty a důkazy Kategorie:Trojúhelník