Cesko.wiki Sinus
Author
Albert FloresGraf funkce sinus - sinusoida Sinus v pravoúhlém trojúhelníku Sinus je goniometrická funkce nějakého úhlu. Zapisuje se jako sin θ, kde θ je velikost úhlu. Pro ostré úhly je definována v pravoúhlém trojúhelníku jako poměr protilehlé odvěsny a přepony (nejdelší strany). Definici lze konzistentně rozšířit jak na všechna reálná čísla, tak i do oboru komplexních čísel.
Grafem funkce sinus v reálném oboru je sinusoida.
Sinus na jednotkové kružnici
Sinus α na jednotkové kružnici +moregif|náhled|387x387pixelů'>Animace zobrazuje funkci sinus (červeně) vykreslenou ze souřadnice y (červený bod) a k tomu náležící bod na jednotkové kružnici (zelený bod) pod úhlem θ. Sinus se jednoduše definuje na jednotkové kružnici (kružnici se středem v počátku a s poloměrem 1): Je-li α úhel, který svírá rameno s kladnou poloosou x (orientovaný od kladné poloosy x proti směru hodinových ručiček), je sin α roven y-ové souřadnici průsečíku této kružnice s koncovým ramenem úhlu α, jinak řečeno, rovná se délce kolmice spuštěné z tohoto bodu na osu x. Délce úsečky z počátku k patě této kolmice, přesněji (s ohledem na znaménko) x-ové souřadnici průsečíku jednotkové kružnice s koncovým ramenem úhlu α, je pak roven cos α. Poloměr, kolmice a tato úsečka tvoří pravoúhlý trojúhelník, pro nějž platí Pythagorova věta, takže také platí: :(\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2 = 1. Na jednotkové kružnici je také vidět, že sinus je v prvním a druhém kvadrantu nezáporný (≥ 0), kdežto ve třetím a čtvrtém nekladný (≤ 0). V prvním a čtvrtém kvadrantu je rostoucí, ve druhém a třetím klesající.
Protože zřejmě platí, že :\sin \alpha = \sin( \alpha + k \cdot 2\pi) (resp. \sin( \alpha + k \cdot 360^{\circ})), kde k je libovolné celé číslo, lze funkci sinus rozšířit i na záporné úhly a konzistentně definovat jako funkci na celé množině reálných čísel. +more Sinusoida pak zhruba (při nekonečně dlouhé ojnici) popisuje například pohyb pístu ve válci spalovacího motoru.
Sinus v reálném oboru
Reálná funkce reálné proměnné y=\sin x má následující vlastnosti (kde k je libovolné celé číslo): * Definiční obor: \mathbb{R} (reálná čísla) * Obor hodnot: \langle-1;1\rangle * Rostoucí: v každém intervalu \textstyle\left(-\frac{1}{2}\pi+2k\pi; \frac{1}{2}\pi+2k\pi\right) * Klesající: v každém intervalu \textstyle\left(\frac{1}{2}\pi+2k\pi; \frac{3}{2}\pi+2k\pi\right) * Maximum je 1 (v bodech \textstyle x=\frac{1}{2}\pi+2k\pi) * Minimum je -1 (v bodech \textstyle x=-\frac{1}{2}\pi+2k\pi) * Derivace: (\sin x)'=\cos x\,\. * Primitivní funkce: \int \sin x\, \mathrm{d}x = -\cos x + C; C \in\mathbb{R} * Taylorova řada: \sin x = x - \frac{x^3}{3. +more} + \frac{x^5}{5. } - \frac{x^7}{7. } + \ldots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1). } * Inverzní funkce (na intervalu \langle -1;1\rangle a oborem hodnot \langle -\frac{1}{2}\pi;\frac{1}{2}\pi\rangle): arkus sinus (arcsin) * Sinus doplňkového úhlu: \sin (\frac{\pi}{2}-x)=\cos x * Sinus dvojnásobného argumentu: \sin 2x=2\sin x\cos x * Sinus polovičního argumentu: \sin ^2 x/2=\frac {1-\cos x}{2} * délka sinusoidy (na intervalu periody): Navinutím grafu funkce y=A\sin(x/r) na válec o poloměru r vznikne elipsa o poloosách r, \sqrt{r^2+A^2}. Díky této transformaci lze k výpočtu použít četné nástroje pro obvod elipsy. * funkce sinus: ** je lichá ** je omezená shora i zdola ** je periodická s nejmenší periodou 2\pi ** není prostá.
Sinus a kvadranty
Čtyři kvadranty kartézské soustavy souřadnic. +more Po jednotkové kružnici (obrázek vlevo) se pohybujeme proti směru hodinových ručiček a začínáme napravo (přechod žluté a hnědé barvy). Pohybujeme se v kartézské soustavě souřadnic se čtyřmi kvadranty. Níže uvedená tabulka zobrazuje několik klíčových vlastností sinusové funkce dle konkrétního kvadrantu. Pro argumenty mimo tabulku lze vypočítat odpovídající informace pomocí periodicity funkce sinus.
| Kvadranty | Stupně | Radiány | Hodnota | Hodnota sinu +/− |
|---|---|---|---|---|
| I. | 0° < x < 90° | 0 < x < π/2 | 0 < sin(x) < 1 | + |
| II. | 90° < x < 180° | π/2 < x < π | 0 < sin(x) < 1 | + |
| III. | 180° < x < 270° | π < x < 3π/2 | −1 < sin(x) < 0 | − |
| IV. | 270° < x < 360° | 3π/2 < x < 2π | −1 < sin(x) < 0 | − |
Hodnoty sinus na jednotkové kružnici
Tabulka pro orientaci v jednotkové kružnici ve stupních a radiánech:
| x (úhel) | ||
|---|---|---|
| Stupně | Radiány | Otočení v kružnici |
| 0° | 0 | 0 |
| 180° | π | 1/2 |
| 15° | π/12 | 1/24 |
| 165° | 11π/12 | 11/24 |
| 30° | π/6 | 1/12 |
| 150° | 5π/6 | 5/12 |
| 45° | π/4 | 1/8 |
| 135° | 3π/4 | 3/8 |
| 60° | π/3 | 1/6 |
| 120° | 2π/3 | 1/3 |
| 75° | 5π/12 | 5/24 |
| 105° | 7π/12 | 7/24 |
| 90° | π/2 | 1/4 |
Výpočty hodnot
Sinus, stejně jako ostatní goniometrické funkce, patří mezi tzv. transcendentální funkce, jejichž hodnoty nelze přímo vypočítat pomocí elementárních operací. +more Pro výpočty s goniometrickými funkcemi se používají počítače a vědecké kalkulátory, takže jejich hodnoty většinou není třeba počítat. Pro ruční výpočet se používaly tabulky, kde byly tyto hodnoty už vypočteny pro určité hodnoty úhlů, a pro mezilehlé hodnoty se používala interpolace. Pro výpočty například při tvorbě takových tabulek se používají nekonečné řady. V počítačích a kalkulátorech se hodnoty goniometrických funkcí obvykle aproximují pomocí snáze vypočítatelných hodnot obvykle Čebyševových polynomů nebo nekonečných řad (Taylorova řada).
Hodnoty goniometrických funkcí lze však přesně určit pro všechny násobky 60° a 45°, a to následujícím způsobem:
Mějme rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník s délkami odvěsen a=b=1; úhly při přeponě jsou stejné a tedy rovné \pi/4 (45°). Pak podle Pythagorovy věty: : c = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt 2 a tedy ovšem :\sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2} :\mbox{tg} \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{\sqrt2} = 1
Goniometrické funkce úhlů \pi/3 radiánů (60°) a \pi/6 radiánů (30°) se určí pomocí rovnostranného trojúhelníka se stranami délky 1. Všechny jeho úhly jsou rovny \pi/3 radiánů (60°). +more Když ho rozdělíme na poloviny, získáme pravoúhlý trojúhelník s úhly o velikostech \pi/6 a \pi/3. Jeho kratší odvěsna má délku 1/2, delší {\sqrt3}/2 a přepona délku 1. Pak tedy: :\sin \frac{\pi}{6} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} :\cos \frac{\pi}{6} = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2} :\mbox{tg} \frac{\pi}{6} = \mbox{cotg} \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt3}.
Sinus v komplexním oboru
Funkce sinus je v komplexních číslech definována součtem řady
:\sin z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \ldots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!},
která konverguje na celé komplexní rovině. Pro každá komplexní čísla z, z_1 a z_2 platí:
:\sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}, :\sin\left(z_1+z_2\right)=\sin z_1 \cos z_2 + \cos z_1 \sin z_2, :\sin iz = i \sinh z.\,
Tyto vzorce plynou přímo z příslušných definičních mocninných řad daných funkcí. Sinus je na celé komplexní rovině jednoznačná holomorfní funkce.
Odkazy
Související články
Externí odkazy
[url=https://web. archive. +moreorg/web/20100304140415/http://mathworld. wolfram. com/Sine. html]Sinus v encyklopedii MathWorld[/url] (anglicky) * [url=http://functions. wolfram. com/ElementaryFunctions/Sin/]Vzorce obsahující sinus na functions. wolfram. com[/url] (anglicky).