Cesko.wiki Gaussova věta
Author
Albert FloresGaussova věta, nebo též Gaussova-Ostrogradského věta či Věta o divergenci je věta matematické analýzy, která uvádí v souvislost tok vektorového pole A(r) uzavřenou jednoduše souvislou hladkou plochou Σ s integrálem přes objem V touto plochou uzavřený z divergence daného vektorového pole. :\oint_\Sigma \mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \int_V ({\nabla\cdot\mathbf{A}}) \mathrm{d}V , kde \nabla \cdot \mathbf{A} je divergence vektorového pole A(r), ∇ je operátor nabla a plocha Σ = ∂V je hranice kompaktní množiny V, která je orientována vektorem vnější normály, tzn. \mathrm{d}\mathbf{S} = \mathbf{n}\mathrm{d}S a n je vektor vnější normály plochy, a je regulární a otevřená.
Z fyzikálního hlediska vyjadřuje Gaussova věta skutečnost, že tok vektoru A uzavřenou plochou je roven objemovému integrálu z divergence vektoru A.
Pro skalární veličinu f lze zavést její tok uzavřenou plochou S vztahem :\int_V \nabla f \mathrm{d}V = \oint_S f \mathrm{d}\mathbf{S} Pro tenzorovou veličinu T_{ij} využijeme toho, že po kontrakci je T_{ij}\mathrm{d}S_j tenzorem prvního řádu. Gaussovu větu pro tenzorovou veličinu pak můžeme vyjádřit jako :\int_V \mathrm{d}V \frac{\partial}{\partial x_j} T_{ij} = \oint_S T_{ij} \mathrm{d}S_j
Kromě uvedených vztahů platí pro vektor A také vztah :\int_V \mathrm{rot}\, \mathbf{A} \mathrm{d}V = - \oint_S \mathbf{A} \times \mathrm{d}\mathbf{S}
G-O věta ve 3D
:\iint_{\partial \Omega} \Phi \vec{n} dS=\iiint_\Omega div\Phi dV kde \vec{n} je vnější normála na povrch S prostoru \Omega o objemu V.
Jinými slovy
Tok přes hranici A prostoru \Omega je roven součtu zřídel a propadů v tomto prostoru.