Moment hybnosti

Moment hybnosti je vektorová fyzikální veličina, která popisuje dynamicky rotační pohyb tělesa.

Moment hybnosti se určuje vzhledem k bodu nebo ose otáčení.

Moment hybnosti bývá také označován jako kinetický moment, impulsmoment nebo točivost (starší literatura).

Značení

Symbol veličiny: \mathbf{L} , někdy také b (vektor) * Jednotka SI: kilogram krát metr na druhou za sekundu, značka jednotky: kg·m2·s−1

Definice

Hybnost (p) Moment hybnosti (L) Moment síly (τ = M) Průvodič (r) Síla (F) Moment hybnosti \mathbf{L} hmotného bodu vzhledem k počátku soustavy souřadnic je určen vektorovým součinem jeho průvodiče \mathbf{r} a hybnosti \mathbf{p},

:\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}.

Vztah k momentu síly

Vyjdeme-li ze vztahu \mathbf{M} = \mathbf{r}\times\mathbf{F} pro moment síly, pak lze provést následující úpravu :\mathbf{M} = \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{r}\times\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} =\left(\mathbf{r}\times\frac{\mathrm{d}(m\mathbf{v})}{\mathrm{d}t}\right) + \left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\times m\mathbf{v}\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{r}\times m\mathbf{v}) = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}, kde \mathbf{r} je polohový vektor, \mathbf{v}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} je rychlost, m je hmotnost (hmotného bodu), \mathbf{p}= m\mathbf{v} je hybnost, \mathbf{M} je moment síly, \mathbf{L} je moment hybnosti, \mathbf{F} je síla. Při výpočtu bylo využito skutečnosti, že vektorový součin \mathbf{v}\times m\mathbf{v}, tzn. +more v rovnici člen \left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\times m\mathbf{v}\right), je roven nule, a proto jej můžeme k rovnici bez obav přičíst. Tím bylo možno následně použít vzorec pro derivaci vektorového součinu.

Předchozí vztah lze slovně popsat tak, že změna momentu hybnosti vzhledem k danému bodu O je co do velikosti i směru rovna momentu síly (vzhledem k témuž bodu), který na hmotný bod působí.

V soustavě hmotných bodů platí pro i-tý hmotný bod podle vztah \mathbf{M}_i=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t}. Z vlastností momentu síly pak plyne :\mathbf{M} = \sum_{i=1}^n \mathbf{M}_i = \sum_{i=1}^n \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \sum_{i=1}^n \mathbf{L}_i = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}, kde \mathbf{L} = \sum_{i=1}^n \mathbf{L}_i představuje celkový moment hybnosti.

Vztah k plošné rychlosti

Vztah mezi plošnou rychlostí \mathbf{w} a momentem hybnosti je :\mathbf{L} = m\mathbf{w}, :což souvisí s platností druhého Keplerova zákona.

Vztah k momentu setrvačnosti

Při kruhovém pohybu lze rychlost vyjádřit jako \mathbf{v} = \mathbf{\omega}\times\mathbf{r}. Moment hybnosti soustavy n hmotných bodů vzhledem k těžišti lze pak vyjádřit vztahem :\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n \left[\mathbf{r}_i\times m_i(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}_i)\right] kde \mathbf{r}_i označuje polohu i-tého hmotného bodu s hmotností m_i vzhledem k těžišti a \mathbf{\omega} je úhlová rychlost pohybu tělesa kolem osy rotace jdoucí těžištěm.

Použitím dvojnásobného vektorového součinu dostaneme :\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n m_i\left[r_i^2\mathbf{\omega} - (\mathbf{\omega}\cdot\mathbf{r}_i)\mathbf{r}_i\right] Moment hybnosti tělesa vzhledem k těžišti má tedy dvě složky. První má směr úhlové rychlosti, tedy směr osy rotace, druhá má ale jiný směr. +more Moment hybnosti tedy obecně nemá směr rotační osy. Označíme-li složky úhlové rychlosti \mathbf{\omega} vzhledem k libovolné soustavě souřadnic s počátkem v těžišti a pevně spojené s tělesem jako \omega_x, \omega_y, \omega_z a složky průvodiče \mathbf{r}_i jako x_i, y_i, z_i, můžeme předchozí vztah rozepsat do složek. Z vyjádření momentu setrvačnosti J pak lze získat :L_x = \omega_x J_x - \omega_y D_{xy} - \omega_z D_{zx} :L_y = \omega_y J_y - \omega_z D_{yz} - \omega_x D_{xy} :L_z = \omega_z J_z - \omega_x D_{zx} - \omega_y D_{yz} kde J_i jsou momenty setrvačnosti k i-té ose a D_{ij} jsou deviační momenty.

Pokud vztáhneme složky momentu hybnosti k soustavě souřadnic totožné s hlavními osami centrálního elipsoidu setrvačnosti, deviační momenty vymizí, a složky momentu hybnosti vzhledem k hlavním osám budou :L_1 = J_1 \omega_1 :L_2 = J_2 \omega_2 :L_3 = J_3 \omega_3

Pokud se těleso otáčí kolem osy, která je totožná s jednou z hlavních os setrvačnosti nebo kolem pevné osy, jsou složky úhlové rychlosti k osám kolmým k rotační ose nulové a moment hybnosti lze zapsat jako :\mathbf{L} = J\mathbf{\omega}

Moment setrvačnosti je možno brát jako symetrický tenzor druhého řádu podle formule :J_{\kappa\lambda}=\sum_{i=1}^n m_i \left[r_i^2 \delta_{\kappa\lambda}-r_\kappa r_\lambda\right] (řecké indexy označují tři složky tenzorů, symbol \delta_{\kappa\lambda} označuje Kroneckerovo delta ). Moment hybnosti tělesa je potom možno vyjádřit ve tvaru :L_{\kappa} = \sum_{\lambda=1}^3 J_{\kappa\lambda} \omega_{\lambda} a rotační energii tělesa ve tvaru :E = \frac{1}{2}\sum_{\kappa,\lambda=1}^{3} J_{\kappa\lambda} \omega_{\kappa} \omega_{\lambda}

Moment hybnosti tedy nemusí být nutně rovnoběžný s osou rotace, ale pokud nepůsobí vnější síla, zachovává svou velikost a směr. Naopak okamžitá osa rotace může vykonávat složitý precesní pohyb.

Rotační impuls

Pro časový účinek momentu síly můžeme v analogii s impulsem síly získat vztah pro impuls momentu hybnosti (rotační impuls) \mathbf{b} :\mathbf{L} - \mathbf{L}_0 = \int_{t_0}^t \mathbf{M}\mathrm{d}t = \mathbf{b}

Pokud je silový moment \mathbf{M} po celou dobu působení stálý, je možné předchozí výraz zjednodušit na tvar :\mathbf{L}-\mathbf{L}_0 = \mathbf{M}(t-t_0)

Vlastnosti

Moment hybnosti má při rotačním pohybu podobný význam jako hybnost při pohybu přímočarém. Podobně jako je hybnost součinem hmotnosti a rychlosti v případě translačního pohybu, tak je moment hybnosti (tenzorovým) součinem momentu setrvačnosti a úhlové rychlosti v případě rotačního pohybu.

Pro celkový moment hybnosti izolované soustavy platí jeden z nejdůležitějších fyzikálních zákonů, zákon zachování momentu hybnosti. Pokud je celkový moment vnějších sil působících na soustavu nulový, tak se její celkový moment hybnosti zachovává. +more Platí například pro pohyb v poli centrální síly, jako v případě planet obíhajících okolo Slunce (2. Keplerův zákon).

Součet momentů vnitřních sil

Součet momentů vnitřních sil v soustavě je roven nule, protože:

1. Dva body na sebe působí silou přitažlivou nebo odpudivou (tzn. má směr shodný se směrem jejich spojnice)

2. Působí-li bod A na bod B, pak bod B působí na bod A silou stejně velikou, ale opačně orientovanou

Uvažme tedy vzoreček pro moment sil v soustavě hmotných bodů: \mathbf{M}_i je moment hybnosti i-tého bodu. Mezi i-tým a j-tým bodem působí síla \mathbf{F}_{i,j}=-\mathbf{F}_{j,i}. +more Celkový moment vnitřních sil je \sum \mathbf{M}_i=\sum_i \mathbf{r}_i \times \sum_j \mathbf{F}_{i,j}=\sum_i \sum_j \mathbf{r}_i\times \mathbf{F}_{i,j}. Uvažujme nyní pouze interakci i-tého a j-tého bodu: \mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_{i,j}+\mathbf{r}_j \times \mathbf{F}_{j,i}=\mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_{i,j}-\mathbf{r}_j \times \mathbf{F}_{i,j}=(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j) \times \mathbf{F}_{i,j},.

kde \mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j je spojnice i-tého a j-tého bodu. Dle prvního předpokladu na sebe tyto body působí silou, která je s jejich spojnicí rovnoběžná. +more A jak známo, vektorový součin rovnoběžných vektorů je roven nule.

Moment hybnosti v kvantové mechanice

V kvantové mechanice je moment hybnosti vždy kvantován. Výsledkem měření jedné komponenty momentu hybnosti (impulsmomentu) mohou být pouze násobky redukované Planckovy konstanty. +more Kvantován je i kvadrát momentu hybnosti.

Zcela novou vlastností je spin částic, vnitřní moment hybnosti určité částice. Na rozdíl od orbitálního impulsmomentu, který byl zmíněn výše, může nabývat komponenta spinu i poločíselných hodnot.

Při zavedení kvantového impulsmomentu vyjdeme z principu korespondence, kvantový impulsmoment je tedy definován takto:

\mathbf{\hat{L}}=\mathbf{\hat{r}} \times {\hat{p}}

Z komutačních relací pro souřadnici a impuls [\hat{X}_k,\hat{P}_l]=i \hbar \delta_{kl} lze odvodit komutační relace pro impulsmoment:

[\hat{L}_k,\hat{L}_l]=i \hbar \varepsilon_{kln}\hat{L}_n

Z těchto komutačních relací již plyne kvantování impulsmomentu. Pro vlastní vektory kvadrátu impulsmomentu a jeho třetí komponenty platí:

\mathbf{\hat{L}^2}|lm\rangle=\hbar^2 l(l+1)|lm\rangle

\hat{L}_3|lm\rangle=\hbar m |lm\rangle

Kde l je nezáporné celé nebo polocelé číslo. Pro určitou hodnotu l může kvantové číslo m nabývat pouze hodnot -l,-l+1,...,l-1,l, tedy celkem 2l+1 hodnot.

Související články

Hybnost * Moment setrvačnosti * Zákon zachování momentu hybnosti * Rotační pohyb * Orbitální moment hybnosti (záření)

Externí odkazy

Kategorie:Dynamika