Cesko.wiki Nevlastní integrál
Author
Albert FloresNevlastní integrál funkce 1/x^3 Riemannův integrál je definovaný na intervalu konečné délky, tj. na úsečce. Někdy je nutné integrovat i na polopřímce nebo na celé přímce. K tomu se používá nevlastní integrál, který je zaveden použitím limitního přechodu v integrálu na intervalu konečné délky. Pokud primitivní funkce v jedné z mezí nemá limitu, pak se Newtonův integrál definuje pomocí jednostranné limity.
Definice
Jestliže funkce f je integrovatelná na každém konečném intervalu \langle a,b\rangle a existuje vlastní limita:
:\lim_{t\to +\infty} \int_a^t f(x) \mathrm{d}x resp. \lim_{t\to -\infty} \int_t^b f(x) \mathrm{d}x,
pak tuto limitu nazýváme konvergentním nevlastním integrálem s nekonečnými mezemi a píšeme:
:\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x resp. \int_{-\infty}^b f(x) \mathrm{d}x,
jestliže uvedené limity neexistují, říkáme, že nevlastní integrál diverguje.
Konvergují-li integrály \int_{-\infty}^a f(x) \mathrm{d}x a \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x, říkáme, že integrál \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x konverguje, a píšeme:
:\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^a f(x)\mathrm{d}x +\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x.
Neexistuje-li alespoň jeden z integrálů \int_{-\infty}^a f(x)\mathrm{d}x a \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x , říkáme, že integrál \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x diverguje.
Poznámka. Stejným způsobem je možno rozšířit integrál i na neohraničené funkce, např.:
:\int_0^1 \frac {1}{x^2}\,\mathrm{d}x = \lim_{a\to 0^+}\int_a^1 \frac {1}{x^2}\,\mathrm{d}x.
