Gaussův integrál

Technology

12 hours ago

Author

Graf funkce e^{-x^2} a plochy mezi funkcí a osou x; tato plocha se rovná \scriptstyle\sqrt{\pi}

Gaussův integrál, také známý jako Eulerův-Poissonův integrál či Poissonův integrál, je integrál Gaussovy funkce e^{-x^2} přes celou reálnou osu:

:\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.

Jména tomuto integrálu dali matematici Carl Friedrich Gauss, Leonhard Euler a Siméon Denis Poisson.

Výpočet

Integrál Gaussovy funkce označíme Y:

:Y = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x.

Obě strany rovnice umocníme na druhou, přičemž proměnnou ve druhém integrálu označíme y:

:Y^2 = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{d}y.

Součin integrálů odpovídá dvojnému integrálu funkce dvou proměnných, která je součinem původních funkcí:

:Y^2 = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-(x^2+y^2)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y.

Graf této funkce si můžeme představit jako kopec (tvarem připomíná horu Říp) nad rovinou s kartézskými souřadnicemi (x,y). Integrál představuje objem kopce. +more Jelikož je kopec souměrný podle svislé osy, hodí se k jeho popisu polární soustava souřadnic (\varphi,r), do kterých funkci přepíšeme:.

:Y^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty r \mathrm{e}^{-r^2} \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi \int_0^\infty r \mathrm{e}^{-r^2} \mathrm{d}r.

Tento integrál už lze jednoduše vyřešit substitucí u=r^2 a jeho hodnota je \pi. Odmocněním rovnice dostaneme výsledek:

:Y = \sqrt{\pi}.