Gaussova funkce

Technology

12 hours ago

Author

Grafy normalizovaných gaussovských funkcí s různými parametry Gaussova funkce pojmenovaná po matematikovi Carlu Friedrichu Gaussovi je reálná funkce jedné reálné proměnné x se třemi parametry a,\mu,\sigma ve tvaru :f\left(x\right) = a e^{- { \frac{\left(x-\mu\right)^2 }{ 2 \sigma^2} } } \,. Čísla a a \sigma musí být kladná, \mu je libovolné reálné, e je Eulerovo číslo (2,71828...). Graf funkce má v bodě x=\mu vrchol o výšce a, který graf dělí na dvě vzájemně souměrné části - levou rostoucí z 0 a pravou klesající asymptoticky zpět k 0. Parametr \sigma určuje šířku „kopce“ ve výšce a e^{-1/8} \approx 0{,}8825\,a. V polovině výšky má graf šířku 2\sigma\sqrt{2\ln 2} \approx 2{,}3548\,\sigma.

Normalizované funkce

Gaussova funkce se velmi často používá ve významu hustoty pravděpodobnosti. V takovém případě musí být její integrál (plocha pod grafem) přes celý definiční obor roven 1, což představuje pravděpodobnost jistého jevu. +more : \int_{-\infty}^\infty f\left(x\right) \,{\mathrm d}x = 1 Tuto normalizační podmínku lze splnit vhodnou volbou konstanty a. Nejjednodušší gaussovskou funkcí je g(x) = e^{-x^2}, jejíž integrál je roven \sqrt\pi (viz Gaussův integrál), takže její normalizovaná verze musí mít tvar :g_{\mathrm n}(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2} \,. Parametr \mu pouze posouvá graf podél osy x, takže nemá vliv na hodnotu integrálu. Parametr \sigma graf rozšiřuje a integrál se přitom násobí číslem \sigma\sqrt2. Obecná normalizovaná Gaussova funkce tedy musí mít tvar :f_{\mathrm n}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{- { \frac{\left(x-\mu\right)^2 }{ 2 \sigma^2} } } \,. Parametr \mu má v tomto případě význam střední hodnoty náhodné veličiny a parametr \sigma je směrodatná odchylka.

Fourierova transformace

Z matematického a fyzikálního hlediska jsou Gaussovy funkce významné také tím, že při \mu=0 je Fourierovým obrazem funkce opět Gaussova funkce, obecně s jinými parametry. :\hat{f}(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\xi x}\, {\mathrm d}x = a\sigma e^{- \sigma^2\xi^2/2 } Je-li navíc \sigma=1, je Gaussova funkce obrazem sama sebe (\hat{f}=f), takže představuje pevný bod Fourierovy transformace. +more Ze všech normalizovaných funkcí má tuto vlastnost pouze jediná: : f_{\mathrm n}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} \,.